1. Теоретические сведения Если функция

1. Теоретические сведения
Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности
точки Ха, то для нее можно построить следующий степенной ряд
(1)
Этот ряд называется рядом Тейлора функции f(x).
Для сходимости ряда Тейлора в окрестности lx- xol < h точки ха к
функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы
(2) '
1 ' J {_, 1 __ j
Наибольшее допустимое значение h обозначается R и называется
радиусом сходимости ряда Тейлора. Промежуток
(х0 - R, х0 + R) называется интерваJюм схо димости ряда Тейлора.
Радиус сходимости ряда Тейлора вычисляется с помощью одной из
следующих формул:
1. an R 1" 1 а = f(n\xo) .
R= 1m-; = 1m nfll' где n
n~oo an+l n~oo !{/ \ani n!
(3)
Частный случай ряда Тейлора при х0 = О называется рядом
Маклорена. Интервют сходимости этого ряда имеет вид (-R,R ).
Ниже приведены ряды Маклорена и соответствующие им
интервмы сходимости для некоторых наиболее часто
используемых функций.
. х2 х3 xn
ех = 1 + х +-+-+ ... + - + ... , х Е ( -оо , оо);
2! 3! n!
х2 х3 х4 n xn+l
1n(1+x)=x- - +--- + . .. +(-1) -+ ... , ХЕ(-1 , 1) ;
2 3 4 n+l
а( а - 1) 2 а(а - 1)(а - 2) 3
(1 + х) а = 1 + ах+ х + х + . .. +
2! 3!
a(a-1)(a-2) ... (a-n+l) n + Х + ... , ХЕ(-1 , 1) ;
n!
3 5 7 2n +1
s. шх=х-х -' +х- -х- + ... + ( - 1)11 --х --+ ... , ХЕ (-оо , оо ) ;
3! 5! 7! (2n + 1)!
2 4 х6 x 2n
cosx = 1-~+~--+ ... +(-1У--+... ХЕ (-оо, оо);
2! 4! 6! (2n)! '
3 х5 7 2n+l
arctgx=хx --+--х - ... +( -1)11 -х- -+ ... ,
3 5 7 (2n+1)
ХЕ(-1,1);
1 х 3 1·3 х 5 1·3· 5 х 7
arcsinx = х+ - · - +-- ·-+ ·-+ ... +
2 3 2·4 5 2·4·6 7
2
1 · 3 · 5 · ... · ( 2n -1) x 2
n+
1
+ · + ... , хЕ[-1,1]
2·4·6· ... ·2n (2n+1)
хз xs х 7 x2n+l
shx = х+-+--- ... + + ... , х Е (-оо,оо);
3! 5! 7! (2n+l)!
х2 х4 хб x2n
chx = 1+-+-+-+ ... +--+ ... , х Е (-оо,оо).
2! 4! 6! (2n)!
На интервале сходимости ряда Тейлора, построенного для функции
f(x), эту· функцию можно аппроксимировать многочленом,
являющимся п-ой частичной суммой ряда.
Рассмотрим, например, функцию f ( х) = sin Зх arctg х. Эта
функция разлагается на отрезке [ -1, 1] в ряд Маклорена
. • .2 11 4 33 6 39 8 106181 10
sш.Зх arctgx = 3х -
2
х + 8х - 16 х + 67200
х -
2099 12 12962679 14 18338417 16
---х + х - х + ...
1792 13798400 23296000
Наглядное представление о сходимости последовательности
частичных сумм Sп(х) к функции f(x) = sinЗx arctgx можно
получить из рисунка 1, где
1. график f(x) = sin3x arctgx;
2. график S2 (x) = Зх2 ;
2 11 4
3.график S4(x)=3x -2х;
2 11 4 33 6
4.график S6(x)=3x -2х +Sx;
5.график
S 2(х) = 3х2 _!l_x4 + 33 хб _ 39 х8 + 106181 х10 _ 2099 х12.
1 2 8 16 67200 1792
3
2
-2 2
:г
-2
Рис. 1. Графическая иллюстрация сходимости ряда Маклорела
Как и следо вало ожидать , мы видим, что аппроксимация исходной
функции тем лучше, чем больше членов ряда Тейлора содержится в
частичной сумме. Хорошо также заметно, что за пределами
интервала сходи:\1ости [ - 1, 1] ни одна частичная сумма не имеет
ничего общего с функцией.
2.1.Улучшение сходимости рядов Тейлора
Если попытаться воспользоваться разложением
х х2 хз xn
е =l+x+-+-+ ... +- + .. . ,
2! 3! n!
то можно Заметить, что при больших значениях х трудно достичь
приемлемой аппроксимации функции ех частичными суммами,
хотя ряд Тейлора сходится на всей оси. Дело в том, что ряд Тейлора
при больших х сходится очень медленно, и сколько-нибудь
полезный результат можно получить только при очень больших
значениях n, а именно тогда, когда отношение xn к n! станет
значительно меньше единицы. Очевидно, что такой номер n = N
найдется обязательно, поскольку факториал всегда растет быстрее,
чем любая степень.
Однако порядок частичной суммы, приемлемый с точки зрения
точности аппроксимации, может оказаться мало пригодным для
проведения практических расчетов. Например, чтобы вычислить
е 10 •01 с точностью до трех верных знаков после плавающей точки,
необходимо взять не менее 3 5 членов ряда Тейлора, что потребует
проведение 34 операций сложения и 594 умножений (учитывая
вычисление факториала и возведение в степень). Поэтому
суммировать слишком большое количество членов ряда даже на
быстром компьютере довольно нежелательно, следовательно, мы
должны свести исходную задачу к эквивалентной, но более
выгодной с вычислительной точки зрения.
В данном случае можно воспользоваться следующими очевидными
тождествами
Для вычисления е0'01 и е0 '5
ограничиться частичными
с требуемой точностью мы можем
суммами с номерами 4 и 10
5
соответственно, что в совокупности потребует лишь 12 сложений,
49 умножений. Теперь, чтобы получить окончательный результат,
нам нужно выполнить 20 операций умножения, из которых 19
05
соответствуют возведению е · в двадцатую степень, то есть всего
12 сложений и 69 умножений. Таким образом, мы выигрываем в
скорости в несколько раз, так как число операций сложения
уменьшилось почти в три раза, а умножения - в де вять.
Похожая ситуация возникает, когда мы разлагаем в ряд Маклорсна
функции sin х и cos х. Здесь также, прежде чем вычислять
значения функции при больших х, необходимо провести ряд
подготовительных преобразований.
Предположим, например, что нам надо вычислить sin 11. Прежде
всего воспользуемся периодичностью и формулами приведения для
тригонометрических функций и вычтем из аргумента Зп.
Поскольку
то
sin х = sin(x- 2n),
sin(x- n) = -sin(x),
sin(x- n/2) = -cos(x),
sin 11 = -sin(11 ~ Зп) = cos(11 - Зп- n/2).
Число 11 - (3 + 112)п ~ 0.004425 значительно меньше единицы и,
следовательно, быстрая сходимость обеспечена. Например, всего
х2
лишь второй частичной суммы 1 - - достаточно для получения
2
шести верных знаков после плавающей точки.
Если же действовать напрямую, то есть использовать разложение
для sin х, то чтобы полу чить разумный ответ, придется вычислять
частичные суммы с номерами в несколько сотен и при этом будут
довольно быстро расти ошибки округления.
Пример 1. Вычислим функцию ех в точке х = 1, взяв семь членов
разложения
х2 х.з х4 х5 х6 х 7 xn
ех = 1 + Х + ?Т + -31 + t.11 + -;:т + [;f + -71 + ... + -, + ... -· . . .). \J. . n.
Подставив в Полученное разложение значение х = 1, получим
6