1. Теоретические сведения Если функция

1 1 1 1 1
е~ 1 + 1 + 2! + З! + 4! + G! + G! ' ~ 2.7180555.
Поскольку при нахождении числа е мы заменили сумму ряда его
частичной суммой, то наш результат, разумеется, не может быть
точным и часть знаков в нем не верна. Воспользовавшись
остаточным членом R7(1) формулы Тейлора, легко можно
получить оценку сверху допущенной погрешности.
С учетом того, что О < ~ < 1 и 2 < е < 3,
е~ е 3
IRб(l)l =- <- <- ~ 0.0005952.
7! 7! 7!
Следовательно, в вычисленном нами значении числа е можно
ручаться только за три знака после плавающей точки. Округлив
надлежащим образом полученный результат, окончательно
получим
е::::: 2.718.
Пример 2. Вычислим функцию ех в точке х = - 0.25, сохраняя
четыре члена ее ряда Тейлора.
Подставив в разложение экспоненциальной функции заданное
значение х, получим
-0.25 ,...... 1- о 2~ 0.252 - 0.253 "' о 7,..,.86 583 е ,....., . v + 21 З! ~ . 1 4 .
Так как здесь приходим к знакочередующемуся числовому ряду, то
согласно теореме Лейбница погрешность не превосходит
абсолютной величины первого отброшенного члена ряда, то есть не
может быть больше, чем (0.254)/4! = 0.0001627.
Поэтому в данном случае верными в полученном результате могут
снова считаться только три знака после плавающей точки и,
следовательно,
е__