1. Teylor formulasi. Teylor ko‘phadi. Peano ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasi

2-misol. Ushbu f(x)=lnx funksiyani x₀=1 nuqta atrofida Teylor formulasini yozing.
Yechish. Berilgan funksiyani Teylor formulasiga yoyish uchun f(x)=ln(1+x) funksiya uchun olingan (9) asosiy yoyilmadan foydalanamiz. Unda x ni x-1 ga almashtiramiz, natijada lnx=ln((x-1)+1) va
lnx= , 0<  <1
formulaga ega bo‘lamiz. Bu formula x-1>-1 bo‘lganda, ya’ni x>0 larda o‘rinli.
8. Teylor formulasi yordamida taqribiy hisoblash. Makloren formulasi Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq hadini baholash masalasini qaraylik.
Faraz qilaylik, shunday o‘zgarmas M son mavjud bo‘lsinki, argument x ning x₀=0 nuqta atrofidagi barcha qiymatlarida hamda n ning barcha qiymatlarida |f⁽ⁿ⁾(x)|M tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda
|R_n(x)|=|  |M
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Argument x ning tayin qiymatida  =0 tenglik o‘rinli, demak n ning yetarlicha katta qiymatlarida R_n(x) yetarlicha kichik bo‘lar ekan.
Shunday qilib, x₀=0 nuqta atrofida f(x) funksiyani
f(0)+ f’(0)x+  f’’(0)x²+ ... + f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ
ko‘phad bilan almashtirish mumkin. Natijada funksiyaning x nuqtadagi qiymati uchun
f(x) f(0)+ f’(0)x+  f’’(0)x²+ ... + f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ
taqribiy formula kelib chiqadi. Bu formula yordamida bajarilgan taqribiy hisoblashdagi xatolik |R_n(x)| ga teng bo‘ladi.
3-misol. e^0,1 ni 0,001 aniqlikda hisoblang.
Yechish. e^x funksiyaning Makloren formulasidan foydalanamiz. (1) formulada x=0,1 deb olsak, u holda
,
masala shartiga ko‘ra xatolik 0,001 dan katta bo‘lmasligi kerak, demak
R_n(x)= <0,001 tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan birinchi n ni topish yetarli. e^0,1 <2 ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tengsizlikni quyidagicha yozib olish mumkin:
.
Endi n=1, 2, 3, ... qiymatlarni so‘ngi tengsizlikka qo‘yib tekshiramiz va bu tengsizlik n=3 dan boshlab bajarilishini topamiz. Shunday qilib, 0,001 aniqlikda
.
Xususiy holda, n=1 bo‘lganda
f(x)f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) taqribiy hisoblash formulasi R₂(x)= (x-x₀)², x₀< aniqlikda o‘rinli bo‘ladi.


XULOSA
Barkamol avlodni tarbiyalash O’zbekiston taraqqiyotini asosi bo’lib, davlat siyosatining ustuvor vazifasiga aylandi. O`zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev 2017-yili 15-iyun kuni Toshkentda bo’lib o’tgan "Ijtimoiy barqarorlikni ta’minlash, muqaddas dinimizning sofligini asrash davr talabi" mavzuidagi anjumanda so’zlagan nutqida yosh avlod tarbiyasi haqida alohida to’xtalib o’tdi. "Bizni hamisha o’ylantirib keladigan yana bir muhim masala bu yoshlarimizning odob-axloqi, yurish-turishi, bir so’z bilan aytganda, dunyoqarashi bilan bog’liq. Bugun zamon shiddat bilan o’zgaryapti. Bu o’zgarishlarni hammadan ham ko’proq his etadigan kim yoshlar. Mayli, yoshlar o’z davrining talablari bilan uyg’un bo’lsin. Lekin ayni paytda o’zligini ham unutmasin. Biz kimmiz, qanday ulug’ zotlarning avlodimiz, degan da’vat ularning qalbida doimo aks-sado berib, o’zligiga sodiq qolishga undab tursin. Bunga nimaning hisobidan erishamiz? Tarbiya, tarbiya va faqat tarbiya hisobidan", deya ta’kidladi Prezidentimiz.
Kurs ishimning asosiy maqsadi funksiya uzluksizligi haqida umumiy tushunchaga ega bo’lish, monoton va elementar funksiyalarning nuqtada uzluksizligi, uzluksiz funksiyalarning xossalari haqida o’rganish va ilmiy salohiyatni kuchaytirishdan iborat.
Kurs ishi mavzusini o’rganish natijasida aniqladimki, yopiq oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyalar ko’plab xossalarga ega bo’lar ekan, ya’ni Veyershtrass teoremalariga asosan yopiq oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiya bu oraliqda o’zining eng kata va eng kichik qiymatlarini qabul qiladi, ekan. O’rgangan teoremalarimizda teorema shartlarining bajarilishi teorema natijasini to’g’ri bo’lishida muhim ahamiyatga ega bo’lar ekan.
Shuni qo’shimcha qilishim mumkinki, Bolsano-Koshining birinchi teoremasiga asosan yopiq oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lgan funkiya uchun bu oraliqda shunday nuqta borki, u nuqtada funksiya nolga aylanar ekan.
Bolsano-Koshining ikkinchi teoremada oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyaning muhim xossasini topdim, funksiya o’zining bir qiymatidan
ikkinchisiga o’tishda, bu qiymatlar orasidagi har bir qiymatdan hech bo`lmaganda bir marta o`tadi. Birinchi qarashda, bu xossa funksiya uzluksizligining asosiy mohiyatini ochadiganga o`xshab ko`rinadi.
Kontor teoremasidan shuni o’rgandimki, funksiya yopiq oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, funksiya shu oraliqda tekis uzluksiz hamdir.