1. To’plam va ular ustida amallar

6.
 
Kombinatorika va uning asosiy qoidalari. Bir qator amaliy 
masalalarni yechish uchun berilgan to‘plamdan uning qandaydir 
xossaga ega bo‘lgan elementlarini tanlab olish va ularni ma’lum bir 
tartibda joylashtirishga to‘g‘ri keladi.Kombinatorikada qo‘shish va 
ko‘paytirish qoidasi dab ataluvchi ikkita asosiy qoida mavjud. 
Qo‘shish qoidasi : Agar biror tanlovni m( ) usulda, tanlovni esa 
m( ) usulda amalga oshirish mumkin bo‘lsa va bu yerda tanlovni 
ixtiyoriy tanlash usuli tanlovni ixtiyoriy tanlash usulidan farq qilsa, 
u holda « yoki » tanlovni amalga oshirish usullari soni 
m( ёки ) = m( ) +m( ) 
formula bilan topiladi. 
Ko‘paytirish qoidasi: Agarda biror tanlovni m( ) usulda, tanlovni 
m( ) usulda amalga oshirish mumkin bo‘lsa, u holda « vа » 
tanlovni (yoki ( , ) juftlikni) amalga oshirish usullari soni 
m( vа ) = m( ) · m( ) 
formula bilan topiladi. 
8.
 Nyuton binomi. 
Nyuton binomi - ikki qoʻshiluvchi yigʻindisining ixtiyoriy butun 
musbat darajasini qoʻshiluvchilar darajalari yigʻindisi koʻrinishda 
ifodalovchi formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak 
tashkil qiladi. 
Nyuton binomi formulasi I. Nyutondan ancha avval ham maʼlum 
boʻlgan. Masalan, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy 
(14—15-asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini 
bilganlar. I. Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy koʻrsatkich 
uchun umumlashtirgan. Nyuton binomi matematik analiz, sonlar 
nazariyasi, ehtimollar nazariyasi va boshqa sohalarda muhim 
ahamiyatga ega 
Nyuton binomi. Nyuton binomi haqida umumiy ma'lumotlar. O'rta 
maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko'paytirish 
formulalarini eslaylik: 
(a+b)2=a2+2ab+b2 — yig'indining kvadrati; 
(a+by=a3+3a2b+3ab2 — yig'indining kubi. Yig'indining navbatdagi 
ikkita, ya'ni 4- va 5-darajalarini hisoblaymiz: 
Shunday qilib, yig'indining bikvadrati (ya'ni to'rtinchi darajasi) va 
yig'indining beshinchi darajasi 
(a+b)5=a5+5a*b+10a3b2+l0a2b3+5ab*+b5 
formulalariga ega bo'lamiz. 
1-teorema. Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun 
formula o'rinlidir. 
lsboti. Matematik induksiya usulini qo'llaymiz. Baza: n= 1 bo'lganda 
formula to'g'ri: . Induksion о 'tish: isbotlanishi kerak bo'lgan formula 
n=k uchun to'g'ri bo'lsin, ya'ni 
. Formula n=k+1 bo'lganda ham to'g'ri ekanligini isbotlaymiz. 
Haqiqatan ham, formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz: 
Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun ifodaning 
ko'phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton binomi, deb 
atalad