1 va2- tur xosmas integrallar, ularni hisoblash va yaqinlashishiga tekshirish

1 va2- tur xosmas integrallar, ularni hisoblash va yaqinlashishiga tekshirish

MA’RUZA

1 va2- tur xosmas integrallar, ularni hisoblash va yaqinlashishiga tekshirish.

1. Chegarasi cheksiz xosmas integrallar

Ta’rif. Yarimda uzluksiz bo’lgan funksianing xosmas integrali quydagicha belgilanadi:
va uni I tur xosmas integral deyiladi .
(1)
Agar (1) formulada o’ngda turgan limit mavjud bo’lsa, u xolda va u yaqinlashuvchi deyiladi. Bu limit integralining qiymati sifatida qabul qilinadi.
Agar ko’rsatilgan limit mavjud bo’lmasa, xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar integral ostidagi f(x) boshlang’ich funksia mavjud bo’lsa, u holda xosmas integralning yaqinlashuvchi yoki yo’qmi ekanini aniqlash mumkun. Nyuton-Leybnits formulalari yordamida quydagiga ega bo’lamiz:

.

1-misol. uchun boshlang’ich funksia bo’ladi.
Nyuton-Leybnits formulasini qo’llaymiz:
I=
A bo’lsa, integral yaqinlashuvchi.

A bo’, integral uzoqlashuvchi.

X yarim cheksiz integralda ham shunga oxshash aniqlanadi:

B boshlang’ich funksianing

dagi limiti.
Agar f(x) butun sonlar o’qida uzluksiz bo’lsa, u holda umumlashgan xosmas integral quyidagi formula bilan aniqlanadi:

(2)

bu yerda – ixtiyoriy tayinlangan nuqta.
Agar (2) formuladagi o’ng tomonda turgan ikkala integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda chap tomondagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi.

Misol.
Integralning yaqinlashuvchiligini tekshiring.


Yechish. (2) formulada deb farazb qilib, quydagini hosil qilamiz:

Tenglikning o’ng qismidagi xosmas integrallar yaqinlashuvchi bo’ladi chunki

Shuning uchun ushbuga ega bo’lamiz:

Ta’rif.da aniqlanmagan f(x)ning xosmas integrali


Cheksiz funksialarning xosmas integrallari

1-shakl
quydagicha belgilanadi:
va ushbu tenglik bilan aniqlanadi:

(3)

Agar (3) fo’rmulada o’ngda turgan limit mavjud bo’lsa, u xolda xosmas intrgral II tur xosmas integral deyiladi va u yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar ko’rsatilgan limit mavjud bo’lmasa, u holda xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
(3)

Agar integral ostidagi boshlang’ich funksia mavjud bo’lsa, u holda Nyuton-Leybnits formulasini qo’yish mumkun:

intervalda uzluksiz v da aniqlanmagan yoki II t f(x)ning xosmas integrali ham shunga o’zshash aniqlanadi:

=

=

bu yerda b dagi limiti.
Agarda funksia k oraliq nuqtasida cheksiz uzilishga ega yoki aniqlanmagan bo’lsa, u holda xosmas integral quydagi aniqlanadi:

Agar (4) formulaning o’ng tomonida turgan

Intervallardan aqalli bittasi uzoqlashuvchi bo’lsa, u xolda xosmas integral uzoqlashuvchi bo’ladi.
Agar (4) ning tomonlarodan ikkala integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda tenglikning chap tomonidagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi.

Absolyut va shartli yaqinlashuvchanlik
Ishorasini saqlamaydigan funksialarning xosmas integrallarni izlashni ba’zida nomanfiy funksia bo’lgan holga olib kelishga imkon beradigan alomatni keltiramiz.
Agar

integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi.

Bunda oxirgi integral absolyut yaqinlashuvchi integral deb ataladi.
Agarda integral yaqinlashuvchi,
integral esa uzoqlashuvchi, u holda

integral shartli yaqinlashuvchi integral deb ataladi.

http://fayllar.org