1. Вычислить с помощью формулы Планка числовое значение постоянной в законе

---

1. Вычислить с помощью формулы Планка числовое значение постоянной в законе 
смещения Вина. 
2. Определить с помощью формулы Планка числовое значение постоянной Стефана–
Больцмана. 
3. Найти длину волны фотона, импульс которого равен импульсу электрона с кинетической 
энергией . 
4. Воспользовавшись законами сохранения, показать, что свободный электрон не может 
поглотить фотон. 
5. Фотон испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти импульс 
налетавшего фотона, если энергия рассеянного фотона равна кинетической энергии 
электрона отдачи при угле
между направлениями их разлета. 
6. Релятивистская частица массы m движется с кинетической энергией . Найти
дебройлевскую длину волны частицы. 
7. Найти кинетическую энергию, при которой дебройлевская длина волны электрона равна 
его комптоновской длине волны
. 
8. Оценить минимально возможную энергию частицы массы m, движущейся в 
одномерном потенциальном поле ( )
(гармонический осциллятор с частотой 
√ ). 
9. Оценить с помощью соотношения неопределенностей энергию связи электрона в 
основном состоянии атома водорода 
10. Найти решение временного уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с 
импульсом в положительном направлении оси . 
11. Найти решение временного уравнения Шредингера для свободной частицы, движущейся с 
импульсом ⃗ в произвольном направлении. 
12. Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной с 
бесконечно высокими стенками. Найти энергию частицы в стационарном состоянии 
описываемом волновой функцией ( ), где — заданная постоянная, - 
расстояние от одного края ямы. 
13. Частица находится в одномерной потенциальной прямоугольной яме с бесконечно 
высокими стенками. Ширина ямы . Найти нормированные - функции стационарных 
состояний частицы, взяв начало отсчета координаты x в середине ямы. 
14. Частица массы m находится в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно 
непроницаемыми стенками. Длина ребер ямы равна a, b, c. Найти собственные значения 
энергии частицы. 
15. Частица массы m находится в кубической потенциальной яме с абсолютно 
непроницаемыми стенками. Воспользовавшись решением предыдущей задачи, найти
разность энергий 3-го и 4-го уровней, если длина ребра ямы равна . 
16. Найти собственное значение оператора ̂, принадлежащее собственной функции
, если 
̂
( )
17. Найти собственное значение оператора ̂, принадлежащее собственной функции
, если 
̂
(
)
18. Если коммутатор [ ̂ ̂] , [ ̂
̂
]
19. Если коммутатор [ ̂ ̂] , [ ̂
̂
]
20. Если коммутатор [ ̂ ̂] , [ ̂
̂
]

---

21. Найти следующие коммутаторы: 
[ 
[ ̂
]] , [ ̂ ] , [ ̂ ̂
] , [ ̂ ̂
]
22. Найти собственные значения оператора ̂
, соответствующие его собственной функции 
( ) ( ). 
23. Проверить следующие правила коммутации: 
[ ̂
] [ ̂
] [ ̂
] .
24. Проверить следующие правила коммутации: 
[ ̂
̂
] ̂
[ ̂
̂
] [ ̂
̂
] ̂
. 
25. Доказать, что оператор ̂
коммутирует с оператором кинетической энергии . 
26. Проверить следующие правила коммутации: 
[ ̂
̂
] ̂
[ ̂
̂
] ̂
[ ̂
̂
] ̂
. 
27. Показать, что оператор ̂
коммутирует с операторами ̂
̂
̂
. 
28. Вычислить средние значения кинетической и потенциальной энергий квантового 
осциллятора с частотой в основном состоянии ( ) (
), где
, 
— постоянная (
) . 
29. Определить среднее значение физической величины, описываемой оператором ̂
в 
состоянии ( )
. 
30. Показать, что волновой пакет близкий к монохроматической волне имеет форму 
( )
[( ) ]
( )
|
31. Покажите, что при лобовом соударении лазерного фотона (энергия ) с 
ультрарелятивистским электроном (энергия
), энергия рассеянного назад фотона 
равна
32. Полагая, что для дифракции на кристаллической решетке полезно иметь частицы с
, найти энергию фотона, электрона и нейтрона с данной длиной волны. 
33. Найти изменение с течением времени волновой функции нерелятивистской свободной 
частицы массы m, если в начальный момент времени 
( ) ( 
)
34. Найти ( ) для 
( )
√
(основное состояние атома водорода). Пусть данная волновая функция описывает 
состояние свободного электрона при . Оценить, на каком расстоянии окажется этот 
электрон через 1 с. 
35. Найти вид оператора ̂ в импульсном пространстве. 
36. Найти
( ) для линейного осциллятора. 
37. Для линейного осциллятора сравнить классическую
и квантовую | 
( )|
плотности вероятности при . 
38. Найти и для линейного осциллятора в -м состоянии. 
39. Найти и для частицы в поле 
( ) {
40. Используя подстановку ( ) ( ) , найти асимптотический вид радиальной части 
волновой функции ( )для связанных состояний электрона в кулоновском поле на больших 
расстояниях от ядра. 

---

41. Используя подстановку ( ) ( ) , найти асимптотический вид радиальной части 
волновой функции ( )для связанных состояний электрона в кулоновском на малых расстояниях 
от ядра. 
42. Электрон в атоме водорода находится в основном состоянии, описываемом волновой 
функцией ( ) (–
) Найти энергию электрона и
(с помощью уравнения 
Шредингера). 
43. Электрон в атоме водорода находится в состоянии, описываемом волновой
( ) ( ) 
где — постоянные. Найти постоянные и энергию электрона (с 
помощью уравнения Шредингера). 
44. Определить для -электрона в атоме водорода средние значения его расстояния от ядра: 〈 〉, 
〈 
〉 и〈( 〈 〉)
〉. 
45. Определить среднее значение кинетической энергии и средней квадратической скорости 
электрона в основном состоянии атома водорода. 
46. Доказать:
̂ ̂
̂
( ̂ ), ̂ ̂
̂
( ̂ ). 
47. Найти квантовую | 
( )|
плотности вероятности при для линейного осциллятора. 
48. Найти соотношение неопределенностей для и , где
( ). 
49. Для свободного движения ( ) ( ) является собственной функцией
̂, но не 
̂
(
̂) и ̂. Почему? 
50. Найти следующие коммутаторы: [ 
̂ ̂
] где ̂
(
̂). 
51. Частица массы m находится в некотором одномерном потенциальном поле ( ) в 
стационарном состоянии, для которого волновая функция имеет вид ( ) (
), где и 
— заданные постоянные ( > 0).Имея в виду, что ( ) , найти ( ) и энергию частицы. 
53. Найти с помощью уравнения Шредингера энергию гармонического осциллятора с частотой в 
стационарном состоянии ( ) (
), где — постоянные. 
54. Найти с помощью уравнения Шредингера энергию гармонического осциллятора с частотой в 
стационарном состоянии ( ) (
), где — постоянные. 
55. Показать, что энергия свободно движущейся частицы может иметь любые значения 
(непрерывный спектр). 
56. Частица массы падает на прямоугольную потенциальную яму шириной и глубиной
. 
Энергия частицы вне ямы равна . Найти коэффициент прозрачности ямы для данной частицы. 
 

---

57. Частица массы m падает на прямоугольный потенциальный барьер, причем ее энергия
. 
Найти коэффициент прозрачности барьера в данном случае. 
58. Частица массы m падает на прямоугольный потенциальный барьер, причем ее энергия
. 
Найти коэффициент прозрачности барьера в данном случае. 
59. Доказать, что собственные функции
и
эрмитова оператора ̂, принадлежащие 
различным собственным значениям
и
дискретного спектра, ортогональны.