10. Функционал кетма-кетлик ва лимит функция тушунчалари

Етарлилиги. функционал кетма-кетлик учун (2) шарт бажарилсин. Уни қуйидагича ёзамиз:
да
(3)
бўлади.
Равшанки, тайин да сонлар кетма-кетлиги учун (3) шартнинг бажарилишидан унинг фундаментал кетма-кетлик эканлиги келиб чиқади. Коши теоремасига кўра яқинлашувчи бўлади. Бинобарин, чекли
(4)
лимит мавжуд.
Модомики, ҳар бир да (4) лимит мавжуд бўлар экан, унда аввал айганимиздек, тўпламда аниқланган

функция ҳосил бўлади Уни билан белгилаймиз. Бу функция функционал кетма-кетликнинг лимит функцияси бўлади:
.
Энди (3) тенгсизликда, ва ларни тайинлаб да лимитга ўтамиз. Натижада

ҳосил бўлади. Бу

бўлишини билдиради. ►
6-мисол. Ушбу

функционал кетма-кетлик тўпламда текис яқинлашувчиликка текширилсин.

◄Агар ихтиёрий учун

дейилса,

бўлади. Демак,
.
Бу эса юқоридаги теореманинг шартини бажарилмаслигини кўрсатади. Демак, берилган функционал кетма-кетлик да текис яқинлашувчи эмас.►
Айтайлик, функционал кетма-кетлик тўпламда яқинлашувчи бўлиб, функция унинг лимит функцияси бўлсин:
.
Агар

бўлса, функционал кетма-кетлик тўпламда функцияга нотекис яқинлашади дейилади.
7-мисол. Ушбу

функционал кетма-кетлик да текис яқинлашишига текширилсин.
◄ Равшанки,
.
Демак, берилган функционал кетма-кетликнинг лимит функцияси бўлади.
Айтайлик, бўлсин. Унда

муносабат ихтиёрий да ўринли бўлади.
Демак, функционал кетма-кетлик лимит функция га да текис яқинлашмайди.►