10. Funksiya differensiali tushunchasi

1⁰. Funksiya differensiali tushunchasi. Faraz qilaylik, f(x) funksiya da berilgan bo’lib, bo’lsin.
Ma’lumki, ayirma funksiyaning nuqtadagi orttirmasi deyilar edi.
1 – ta’rif. Agar ni ushbu

ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, funksiya nuqtada differensiallanuvchi deyiladi., bunda
Teorema. funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. Ta’rifga binoan, bo’ladi, bunda .
Bu tenglikdan foydalanib topamiz.:

Demak, mavjud va
Yetarliligi. funksiya da chekli hosilaga ega bo’lsin. Ta’rifga ko’ra

bo’ladi. Agar

deyilsa, undan

bo’lishi kelib chiqadi, bunda da
2 – ta’rif. Funksiya orttirmasidagi ifoda f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi differensiali deyiladi. va df(x₀) kabi belgilanadi df(x₀)=
Aytaylik, nuqtada differensiallanuvchi funksiyaning grafigi 6 – chizmada tasvirlangan egri chiziqni ifodalasin:

Keltirilgan chizmadan ko’rinadiki, bo’lib, bo’ladi.

Demak, funksiyaning x nuqtadagi differensiali funksiya grafigiga (x, ) nuqtada o’tkazilgan urinma orttirmasi DC ni ifodalar ekan.
Faraz qilaylik, =x, x bo’lsin. Bu funksiya differensiallanuvchi bo’lib, , ya’ni bo’ladi. Shuni e’tiborga olib, da differensiallanuvchi bo’lib, funksiyaning differensialini ko’rinishda ifodalash mumkinligini hosil qilamiz.
Endi sodda funksiyalarning differensiallarini keltiramiz.:














2⁰. Funksiya differensialining sodda qoidalari. Faraz qilaylik, f(x) va g(x) funksiyalari da berilgan bo’lib, nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. U holda da
1.
2.
3.
4.
bo’ladi.
Bu tasdiqlardan birini, masalan 3) - sini isbotlaymiz.
Ma’lumki,

Agar

bo’lishiini e’tiborga olsak, unda quyidagi tenglikka kelamiz.:
Faraz qilaylik, funksiya to’plamda, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, va hosilalarga ega bo’lsin., u holda

bo’ladi.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoidasidan foydalanib topamiz.:

Misol. Ta’rifdan foydalanib, ushbu f(x)=x-3x² funksiyaning x₀=2 nuqtadagi differensiali topilsin.
Yechish. Bu funksiyaning x₀=2 nuqtadagi orttirmasini topamiz.

Demak,
3. Funksiya differensiali va taqribiy formulalar. Funksiya differensiyali yordamida taqribiy formulalar yuzaga keladi.
Aytaylik, f(x) funksiya (a,b) da berilgan bo’lib, nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsin. U holda da bo’ladi.
Ayni paytda f(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, uning differensiali bo’ladi.
Ravshanki, bo’lib, da

bo’ladi. Natijada ya’ni taqribiy formula hosil bo’ladi.
(1) formula nuqtada differensiallanuvchi f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi orttirmasi f(x₀) ni uning shu nuqtadagi differensiali df(x₀) bilan almashtirish mumkinligini ko’rsatadi. Bu almashtirishning mohiyati funksiya orttirmasi argument orttirmasining umuman aytganda murakkab funksiyasi bo’lgan holda, funksiya differensiali esa argument orttirmasining chiziqli funksiyasi bo’lishidadir.
(1) formulada x=x-x₀ deyilsa, unda f(x) f(x₀)+f(x₀)(x-x₀)bo’ladi.
Misol. Ushbu sin29⁰ miqdor taqribiy hisoblansin.
Yechish. Agar f(x)=sinx, x₀ =30⁰ deyilsa, unda (2) formulaga ko’ra
Sin29⁰ bo’ladi. Ma’lumki nuqtada differensiallanuvchi f(x) funksiya grafigiga (x₀,f(x₀)) nuqtada o’tkazilgan urinmaning tenglamasi quyidag ko’rinishda yoziladi:
y=f(x₀)+f ^‘(x₀)(x-x₀)
Demak, (2) taqribiy formula geometrik nuqtai nazardan f(x) funksiya ifodalagan egri chiziqni x₀ nuqtaning yetarli kichiq atrofida shu funksiya grafigiga (x₀,f(x₀)) nuqtada o’tkazilgan urinma bilan almashtirilishini bildiradi.
(2) formulada x₀=0 deyilsa, u ushbu f(x) f(0)+f^’(0) ko’rinishga keladi.
F(x) funksiya sifatida (1+x) , ,ye^x,ln(1+x), sinx tgx funksiyalarni olib, ularga (3) formulani qo’llash Natijasida quyidagi taqribiy formulalarhosil bo’ladi:
(1+x) , e^x 1+x ,ln(1+x) x
Mashqlar. 1. Aytaylik, u va v lar differensiallanuvchi funksiyalari bo’lib, ularning differensiallari du va dv bo’lsin. Unda ushbu y=acrtg +ln funksiyaning differensiali topilsin.
2. Ushbu f(x)= funksiya x₀=0 nuqtada differensiallanuvchi bo’ladimi?

1. 
   Ushbu miqdorlarning taqribiy qiymatlari topilsin.