10. кўринишидаги интегралларни ҳисоблаш

19-MAVZU. SODDA IRRATSIONAL VA TRANSTSENDENT FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH
1⁰. кўринишидаги интегралларни ҳисоблаш. Фараз қилайлик, икки ўзгарувчининг рационал функцияси бўлиб, лар ҳақиқий сонлар, бўлсин.
Ушбу

кўринишидаги интегралларни қараймиз. Бу интеграл ўзгарувчини алмаштириш ёрдамида рационал функциянинг интегралига келади:

.
1-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄Бу интегралда

алмаштиришни бажарамиз. Унда

бўлиб,

бўлади.
Равшанки,
.
Демак,
►
2⁰. кўринишидаги интегралларни ҳисоблаш. Бу интегралда -ҳақиқий сонлар бўлиб, квадрат учҳад тенг илдизларга эга эмас.
Қаралаётган
(1)
интеграл қуйидаги учта алмаштириш ёрдамида рационал функция интегралига келади.
а) бўлсин.
(1) интегралда ушбу
(ёки )
алмаштиришни бажарамиз. У ҳолда
,
,

бўлади.
Натижада


бўлади.
2-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Бу интегралда

алмаштиришни бажарамиз. Натижада

бўлиб,

бўлади.
Агар

бўлишини эътиборга олсак, унда


бўлиши келиб чиқади. ►
б) бўлсин. Бу ҳолда (1) интегралда ушбу

ёки

алмаштиришини бажарамиз. Унда


бўлиб, (1) интеграл рационал функциянинг интегралига келади:

в) квадрат учҳад турли ва ҳақиқий илдизга эга бўлсин:
.
Бу ҳолда (1) интегралда ушбу

алмаштиришни бажарамиз. Натижада


бўлиб,


бўлади.
3-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Равшанки,
.
Шуни эътиборга олиб берилган интегралда

алмаштиришни бажарамиз. У ҳолда

бўлиб,

бўлади.
Энди

бўлишини эътиборга олиб топамиз:
. ►