10. Limitga ega bo`lgan funksiyalarning xossalari

3-misol. Ushbu funksiya uchun nuqtada Koshi shartining bajarilishi ko’rsatilsin.
◄ Haqiqatan son olib, ni deb qaralsa, u holda ning

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va qiymatlari uchun quyida-giga ega bo’lamiz:

Bu berilgan funksiya uchun nuqtada Koshi sharti bajarilishini ko’rsatadi.
funksiya uchun nuqtada Koshi shartining bajarilmasligi quyi-dagini anglatadi:
son olganimizda ham shunday va

tengsizliklarni qanoatlantiruvchi , qiymatlar topiladiki,

bo’ladi.
Masalan, funksiya uchun nuqtada Koshi sharti baja-
rilmaydi. Haqiqatan, olganimizda ham va

nuqtalar uchun bo’lganda bo’lishi ravshan, ammo

bo’ladi.
3-teorema (Koshi). funksiya nuqtada chekli limitga ega bo`lishi uchun bu funksiya nuqtada Koshi shartining bajarishi zarur va etarli.
◄ Zarurligi. funksiya nuqtada chekli limitga ega bo`lsin:
.
Limit ta`rifiga binoan:
uchun
(2)
bo`ladi. SHuningdek, yX  (U_ (x_o) \ {x_o}) uchun ham
(3)
bo`ladi. (2) va (3) munosabatlardan

bo`lishi kelib chiqadi.
Etarliligi. Aytaylik funksiya uchun (1) shart bajarilsin. nuqtaga intiluvchi ikkita


ketma-ketliklarni olamiz. Bu ketma-ketliklardan foydalanib, ushbu

ketma-ketlikni hosil qilamiz. Uni bilan belgilaymiz. Ravshanki, ketma-ketlik uchun

bo`ladi. Teorema shartiga binoan soniga ko`ra sonni olamiz. Modomiki, da ekan, unda limit ta`rifiga ko`ra:

bo`ladi. Unda uchun

tengsizlik bajapiladi. Byndan ketma-ketlikning fyndamental ekanligi kelib chiqadi. Demak ketma-ketlik yaqinlashyvchi:
da .
Unda
,
bo`lib, fynktsiya limitining Geyne ta`pifiga binoan
.
bo`ladi. ►