10. Limitga ega bo`lgan funksiyalarning xossalari

13-ma`ruza
Limitga ega bo`lgan funksiyalarning xossalari.
Limitning mavjudligi
1⁰. Limitga ega bo`lgan funksiyalarning xossalari. CHekli limitga ega bo`lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik, funksiya to`plamda berilgan bo`lib, nuqta ning limit nuqtasi bo`lsin.
1-xossa. Agar  da funksiya limitga ega bo`lsa, u yagona bo`ladi.
◄Bu xossaning isboti limit ta`riflarining ekvivalentligi hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib chiqadi.►
6–eslatma. Funksiya chegaralanganligidan uning chekli limitga ega bo’lishi har doim ham kelib chiqavermaydi. Masalan, funksiya chegaralangan ammo da bu funksiya limitga ega emas.
2-xossa. Agar
, ( chekli son)
bo`lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda funksiya chegaralangan bo`ladi.
◄Aytaylik,

bo`lsin. Funksiya limiti ta`rifga binoan
da
ya`ni bo`ladi. Keyingi tengsizliklardan funksiyaning nuqtaning atrofida chegaralangan-ligi kelib chiqadi. ►
3-xossa. Agar

bo`lib, bo`lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu atrofda

bo`ladi.
◄SHartga ko`ra
.
Funksiyaning limiti ta`rifiga ko`ra uchun shunday son topiladiki, , , uchun

bo`ladi. Bu esa da bo`lishini bildiradi. ►
Faraz qilaylik, va funksiyalar to`plam-da berilgan bo`lib, nuqta to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
4-xossa. Agar
,
bo`lib, da tengsizlik bajarilsa, u holda , ya`ni

bo`ladi.
◄ Aytaylik,
,
bo`lsin.
Funksiya limitining Geyne ta`rifiga ko`ra ga intiluvchi ixtiyoriy

ketma-ketlik uchun
da (1)
bo`ladi.
Ravshanki, da
(2)
YAqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib, (1) va (2) munosabatlardan , ya`ni bo`lishini topamiz. ►
5-xossa. Agar argument ning nuqtaning biror atrofidan olingan barcha qiymatlarida

tengsizlik o’rinli bo’lsa va limitlar mavjud bo’lib

bo’lsa u holda

bo’ladi.
–misol. Ushbu

limit topilsin.
◄ Ravshanki, bir tomondan funksiya uchun

tengsizliklar bajariladi., ikkinchi tomondan,
.
Demak, yuqoridagi 5)–xossaga ko’ra . ►
6-xossa. Faraz qilaylik,

limitlar mavjud bo`lsin. U holda
a) da ;
b)
v)
g) Agar bo`lsa,
bo`ladi.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik amallar bajarilishi haqidagi ma`lumot-lardan kelib chiqadi.
–eslatma. 1) Yuqorida keltirilgan 1) – chi va 2) – chi xossalar qo’shiluvchilar va ko’paytuvchilar soni ixtiyoriy chekli bo’lgan holda ham o’rinli bo’lai.
2). da va funksiyalarning yig’indisi, ko’paytmasi va nisbatidan iborat bo’lgan funksiyalarning limitga ega bo’lishidan bu funksiyalarnig har birining limitga ega bo’lishi doim kelib chiqavermaydi. Masalan, funksiyalar yig’indisi bo’lib, da bo’ladi. Ammo da va funk-siyalarning har biri limitga ega emas.