10-MA’RUZA
Limitlar haqida asosiy teoremalar. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar. Funksiyaning
uzluksizligi. Funksiyaning uzilish nuqtalari va ularning turlari
Ma’ruza rejasi:
1.
Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
2
. Birinchi ajoyib limit.
3
. Ikkinchi ajoyib limit.
4
. Funksiyaning uzluksizligi.
5
. Funksiyaning uzilish nuqtalari va ularning turlari.
Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
𝑓(𝑥) va 𝑔(𝑥) funksyalar 𝑎 nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo‘lsin, 𝑎 nuqtaning o‘zida
esa aniqlanmagan bo‘lishi ham mumkin.
1-Teorema. Agar
𝑓(𝑥) va 𝑔(𝑥) funksyalar 𝑎 nuqtada limitag ega bo‘lishsa, u holda ularning
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) yig‘indisi ham, 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
ayirmasi ham, 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ko‘paytmasi
ham,
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 qo‘shimcha
shartda
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
nisbat ham bu nuqtada limitga ega bo‘ladi va
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥); (1)
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥); (2)
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
,
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0
(3)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi
Murakkab funksiyaning limiti.
2-Teorema. Agar
𝑦 = 𝑓(𝑥) funksiya 𝑎 nuqtada 𝐴 chekli limitga ega bo‘lsa va 𝐴 qiymatni 𝑎
nuqtaning
biror atrofida qabul qilmasa,
𝑔(𝑦) funksiya esa 𝐴 nuqtada 𝐵 limitga ega bo‘lsa, u
holda
𝑔(𝑓(𝑥)) murakkab funksiya 𝑎 nuqtada limitga ega va u 𝐵 soniga teng.
Bu teorema murakkab funksiyaning limitini hisoblashda o‘zgaruvchilarni
almashtirishni
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑓(𝑥)) = lim
𝑦→𝑏
𝑔(𝑦) (4)
formula bo‘yicha amalga oshirish imkonini beradi.
Funksiyaning limitini hisoblashga bir necha misol keltiramiz.
