10-ma’ruza limitlar haqida asosiy teoremalar. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar. Funksiyaning uzluksizligi. Funksiyaning uzilish nuqtalari va ularning turlari

1-Misol. Limitni hisoblang: 
lim
𝑥→2
𝑥
3
+ 3
2𝑥 − 5
. 
► Limit ostidagi funksiyani ikkita 
𝑓(𝑥) = 𝑥
3
+ 3 va 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 5 funksiyalarning nisbati 
sifatida qaraymiz. Bu funksiyalarning har biri 
𝑥 = 2 nuqtada limitga ega: 
lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2
(𝑥
3
+ 3) = 2
3
+ 3 = 11 
lim
𝑥→2
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→2
(2𝑥 − 5) = −1 
Maxrajdagi 
𝑔(𝑥) funksiyaning limiti noldan farqli, shuning uchun bu yerda nisbatning limiti 
haqidagi teoremani qo‘llashimiz mumkin: 
lim
𝑥→2
𝑥
3
+ 3
2𝑥 − 5
=
lim
𝑥→2
(𝑥
3
+ 3)
lim
𝑥→2
(2𝑥 − 5)
=
11
−1
= −11.  

---

2-Misol. Limitni hisoblang: 
lim
𝑥→−3
𝑥
2
− 9
𝑥 + 3
. 
► 
𝑓(𝑥) = 𝑥
2
− 9 va 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3 deb olamiz. Bu funksiyalar lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) = 0, lim
𝑥→−3
𝑔(𝑥) = 0 
limitlarga ega. Shuning uchun 
0
0
ko‘rinishdagi aniqmaslikka ega bo‘lamiz. Limit ostidagi 
funksiya 
𝑥 = −3 nuqtada aniqlanmagan va bu nuqtaning o‘zida funksiyani qaramasdan, faqat 
limiti qaraladi. Suratdagi 
𝑓(𝑥) funksiyani ko‘paytuvchilarga ajratamiz: 
𝑥
2
− 9
𝑥 + 3
=
(𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
𝑥 + 3
. 
O‘ng tomondagi kasrni 
𝑥 + 3 ≠ 0 ifodaga bo‘lamiz: 
𝑥
2
− 9
𝑥 + 3
= 𝑥 − 3,
𝑥 ≠ −3. 
Shuning uchun
lim
𝑥→−3
𝑥
2
− 9
𝑥 + 3
= lim
𝑥→−3
(𝑥 − 3) = −6.
3-Misol. Limitni hisoblang: 
lim
𝑥→0
√4 + 𝑥
2
− 2
𝑥
2
 
► Surat va maxrajdagi funksiyalarning 
𝑥 = 0 nuqtadagi limitlari nolga teng, shuning uchun 
yana 
0
0
ko‘rinishdagi aniqmaslikka ega bo‘lamiz. Bu aniqmaslikni ochish uchun kasrning surat 
va maxrajini 
√4 + 𝑥
2
+ 2 ifodaga ko‘paytiramiz. 𝑥 ≠ 0 holda 
√4 + 𝑥
2
− 2
𝑥
2
=
(√4 + 𝑥
2
− 2)(√4 + 𝑥
2
+ 2)
𝑥
2
(√4 + 𝑥
2
+ 2)
=
4 + 𝑥
2
− 4
𝑥
2
(√4 + 𝑥
2
+ 2)
=
1
√4 + 𝑥
2
+ 2
. 
Hosil qilingan funksiyaga nisbatning limiti haqidagi teoremani qo‘llash mumkin: 
lim
𝑥→0
√4 + 𝑥
2
− 2
𝑥
2
= lim
𝑥→0
1
√4 + 𝑥
2
+ 2
=
1
4
.
Birinchi ajoyib limit. 
 
𝑎 nuqtada limitga ega bo‘lgan funksiyaning yuqorida qaralgan xossalari funksiyaning bu 
nuqta atrofida o‘zgarishini tahlil qilish imkonini beradi. Ammo ayrim hollarda bu xossalar va 
limitni hisoblash qoidalari yetarli bo‘lmay qoladi. Bunga (
sin 𝑥)/𝑥 funksiyaning 𝑎 = 0 nuqta 
atrofida o‘zgarishini misol sifatida keltirish mumkin. 
𝑥 − radiusi 1 bo‘lgan aylananing markaziy burchagi yoki yoyi uzunligi va 0 < 𝑥 < 𝜋/2 
bo‘lsin (5-rasm). 
𝑂𝐴𝐵 uchburchakning 𝑆
1
yuzini, 
𝐴𝑂𝐵 sektorning 𝑆
2
yuzini va 
𝑂𝐴𝐶 
uchburchakning 
𝑆
3
yuzini taqqoslash natijasi 
𝑆
1
< 𝑆
2
< 𝑆
3
tengsizlikni beradi. |
𝑂𝐴| = 1 

---

bo‘lganda 
𝑆
1
= (sin 𝑥)/2, 𝑆
2
= 𝑥/2, 𝑆
3
= (tg 𝑥)/2 ekanligidan ixtiyoriy 𝑥 ∈ (0, 𝜋/2) 
nuqtalarda 
Tengsizlikda limitga o‘tish haqidagi teoremani (5) tengsizlikka qo‘llab 
lim
𝑥→0
sin 𝑥 = 0 limitni 
topamiz. Xuddi shu teoramani |
cos 𝑥 − 1| = 2 sin
2
(𝑥/2) ≤ 𝑥
2
/2 tengsizlikka qo‘llab 
lim
𝑥→0
cos 𝑥 = 1 limitni topamiz. 
Endi yuqoridagi qo‘sh tengsizlikka qaytaylik. Uning chap qismidan 
𝑥 ∈ (0, 𝜋/2) nuqtalar 
uchun (
sin 𝑥)/𝑥 < 1 ekanligi kelib chiqadi. (sin 𝑥)/𝑥 juft funksiya bo‘lganligi uchun bu 
tengsizlik 
𝑥 ∈ (−𝜋/2, 0) nuqtalar uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Qo‘sh tengsizlikning ong 
qismidan
𝑥 ∈ (0, 𝜋/2) nuqtalar uchun cos 𝑥 < (sin 𝑥)/𝑥 ekanligi kelib chiqadi. Tengsizlikdagi 
funksiyalar juft bo‘lganligi uchun u 
𝑥 ∈ (−𝜋/2, 0) nuqtalar uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Shunday 
qilib 
𝑥 = 0 nuqtanig 𝑈
𝜋/2
(0) o‘yiq atrofidan olingan barcha 𝑥 nuqtalar uchun 
cos 𝑥 <
sin 𝑥
𝑥
< 1 
tengsizlik o‘rinli bo‘lar ekan, ya’ni (
sin 𝑥)/𝑥 funksiya 𝑥 = 0 nuqtada limitlari 1 bo‘lgan ikkita 
funksiyaning orasida yotar ekan. Oraliq funksiyaning limiti haqidagi teoremani qo‘llab, birinchi 
ajoyib limit deb ataluvchi
lim
𝑥→0
sin 𝑥
𝑥
= 1 
(6) 
tenglikka ega bo‘lamiz. 
(6) tenglikni geometrik jihatdan quyidagicha talqin qilinadi. 
𝑥 markaziy burchakning (1-
rasmga qarang) kamayishi bilan yoy uzunligi uni tortib turuvchi vatar uzunligiga yaqinlashib 
boradi. (6) yordamida 
0/0 ko‘rinishdagi aniqmaslikni ochish mumkin.