10-ma’ruza. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar. Funksiyaning uzluksizligi. Funksiyaning uzilish nuqtalari va ularning turlari
Download 0.79 Mb. Pdf ko'rish
|
10-ma’ruza 10c4d67636e5b66a0ace66646dea4dcd
- Bu sahifa navigatsiya:
- 3-Misol
- Birinchi ajoyib limit
|
2-Misol. Limitni hisoblang:
►
va deb olamiz. Bu funksiyalar ,
limitlarga ega. Shuning uchun
ko„rinishdagi aniqmaslikka ega bo„lamiz. Limit ostidagi funksiya nuqtada aniqlanmagan va bu nuqtaning o„zida funksiyani qaramasdan, faqat limiti qaraladi. Suratdagi funksiyani ko„paytuvchilarga ajratamiz:
O„ng tomondagi kasrni ifodaga bo„lamiz:
Shuning uchun
3-Misol. Limitni hisoblang:
√
► Surat va maxrajdagi funksiyalarning nuqtadagi limitlari nolga teng, shuning uchun yana
kasrning surat va maxrajini √
ifodaga ko„paytiramiz. holda √
(√
)(√ )
(√ )
(√ )
√
Hosil qilingan funksiyaga nisbatning limiti haqidagi teoremani qo„llash mumkin:
√
√
Birinchi ajoyib limit
nuqtada limitga ega bo„lgan funksiyaning yuqorida qaralgan xossalari funksiyaning bu nuqta atrofida o„zgarishini tahlil qilish imkonini beradi. Ammo ayrim hollarda bu xossalar va limitni hisoblash qoidalari yetarli bo„lmay qoladi. Bunga funksiyaning nuqta atrofida o„zgarishini misol sifatida keltirish mumkin.
radiusi 1 bo„lgan aylananing markaziy burchagi yoki yoyi uzunligi va bo„lsin (1-rasm). uchburchakning
yuzini, sektorning
yuzini va
yuzini taqqoslash natijasi
tengsizlikni beradi. | | bo„lganda
, ,
)/2 ekanligidan ixtiyoriy nuqtalarda
tengsizlik o„rinli bo„lishi kelib chiqadi. Dastlab ixtiyoriy nuqtalar uchun | | | | (5) tengsizlikning o„rinli ekanligini isbotalymiz. Haqiqatdan ham bo„lsa (5) tengsizlik yuqoridai qo„sh tengsizlikdan kelib chiqadi. bo„lsa (5) tengsizlik | | tengsizlik tufayli o„rinli bo„ladi. (5) tengsizlikda faqat juft funksiyalar qatnashgan, shuning uchun u uchun ham o„rinli. Nihoyat bo„lsa (5) tenglik o„rinli bo„ladi.
Tengsizlikda limitga o„tish haqidagi teoremani (5) tengsizlikka qo„llab
limitni topamiz. Xuddi shu teoramani | |
tengsizlikka qo„llab
limitni topamiz.
Endi yuqoridagi qo„sh tengsizlikka qaytaylik. Uning chap qismidan nuqtalar uchun ekanligi kelib chiqadi. juft funksiya bo„lganligi uchun bu tengsizlik nuqtalar uchun ham o„rinli bo„ladi. Qo„sh tengsizlikning ong qismidan nuqtalar uchun ekanligi kelib chiqadi. Tengsizlikdagi funksiyalar juft bo„lganligi uchun u nuqtalar uchun ham o„rinli bo„ladi. Shunday qilib nuqtanig
o„yiq atrofidan olingan barcha nuqtalar uchun
tengsizlik o„rinli bo„lar ekan, ya‟ni funksiya nuqtada limitlari 1 bo„lgan ikkita funksiyaning orasida yotar ekan. Oraliq funksiyaning limiti haqidagi teoremani qo„llab, birinchi ajoyib limit deb ataluvchi
(6) tenglikka ega bo„lamiz.
(6) tenglikni geometrik jihatdan quyidagicha talqin qilinadi. markaziy burchakning (5-rasmga qarang) kamayishi bilan yoy uzunligi uni tortib turuvchi vatar uzunligiga yaqinlashib boradi. (10) yordamida ko„rinishdagi aniqmaslikni ochish mumkin.
Download 0.79 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|