10-Маъруза Мавзу: Чизиқли ва квадратик формалар

Таъриф-2. Агар ҳар қандай x, y V векторлар учун x, y  y, x тенглик бажарилса, бу бичизиқли форма симметрик дейилади.
Лемма-1. Симметрик бичизиқли форманинг матрицаси ҳар қандай базисда симметрик. Исбот.
aik  ei , ek   ek , ei   aki .
Лемма исботланди.
Ушбу лемманинг тескариси ҳам ўринли бўлади, яъни агар бичизиқли форманинг бирор базисдаги матрицаси симметрик бўлса ушбу бичизиқли форма ҳам симметрик бўлади. Таъриф-3. (x, y) симметрик бичизиқли форма ёрдамида ҳосил бўладиган q(x)  x, x функция квадратик форма дейилади.
Лемма-2. Ихтиёрий симметрик бичизиқли форма ўзининг квадратик формаси орқали ўзаро бир қийматли аниқланади.
Исбот.
q(x  y)  x  y, x  y  q(x)  q( y)  2(x, y) ,
шунинг учун
2
x, y  1 q(x  y)  q(x)  q( y).
Лемма исботланди.
Таъриф-4. Квадратик формани ҳосил қилувчи ягона симметрик бичизиқли форманинг матрицасига квадратик форманинг матрицаси дейилади.
2.Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтириш.
q(x)  x, x квадратик формани x векторнинг координаталари орқали ифодалаш базисга боғлик эканини биз биламиз. Бу бўлимда биз квадратик формани квадратлар йиғиндисига
қандай қилиб келтиришни, яъни квадратик формани
2
2 2
1 1 2 2 nn n
q(x)        ...    ,
содда кўринишга келтирадиган базисни қандай қилиб танлашни кўрсатамиз.
Квадратик форманинг f1 , f2 ,..., fn базисдаги A  aik    fi , fk  матрицасининг барча бурчакли

 
n
ann 
a a
a a
  a ,  
...
a ... a
 ... ... ... ... 
 a ... 
n2
an1
2n 
22
21
a1n 
a11 a12
a
22
21
12 , ..., 
11
1 11 2

n
ik i k
i,k 1
q(x)   x, x  a  
Бизнинг мақсадимиз - e1 , e2 ,..., en векторларни шундай аниқлашки, бунда
Уларни
,
(3)
(4)
(5)
(6)
(i, k  1,2,..., n) . (2)
агар i  k
ei , ek   0
e1  11 f1 ,
e2   21 f1   22 f2 ,
.....
en   n1 f1   n2 f2  ...   nn fn
кўринишда излайлик. Агар
ek , fi   0 (i  1,2,..., k 1) ,
бўлса, ek , ei   0 (i  1,2,..., k 1) бўлади. Ҳақиқатан ҳам, (3) тенгликларга асосан
ek , ei   ek ,i1 f1  i 2 f2  ...  ii fi  
 i1ek , f1  i 2ek , f2  ...  iiek , fi 
бўлади. Шундай қилиб, агар ҳар қандай k ва i  k учун ek , fi   0 тенглик бажарилса, i  k учун ek , fi   0 бўлади. Демак, бичизиқли форманинг симметриклигига асосан охирги тенглик i  k лар учун ҳам ўринли. Яъни e1 , e2 ,..., en - изланаётган базис.
Юқоридагидан равшанки бизнинг мақсадимиз қуйдагича:
k1 ,k 2 , ...,kk коэффициетларни шундай аниқлаш керакки
ek  k1 f1  k 2 f2  ...  kk fk
вектор
ek , fi   0 (i  1,2,..., k 1)


..................................
k1 k 1 1 k 2 k 1 2 kk k 1 k
k1 2 1 k 2 2 2 kk 2 k
 k1  fk , f1   k 2  fk , f2  ...   kk   fk , fk   1.
   f , f     f , f  ...     f , f   0,
   f , f     f , f  ...     f , f   0,
шартларни қаноатлантирсин.
ek вектор ушбу шартлар билан ўзгармас кўпайтувчигача аниқланади. Бу кўпайтувчини
ek , fk   1
тенглик ёрдамида аниқлаймиз.
(4) ва (5) га ek нинг ифодасини қўйиб  ki га нисбатан қуйидаги чизиқли тенгламалар системасига эга бўламиз.
 k1  f1 , f1   k 2  f1 , f2  ...   kk  f1 , fk   0,
Маълумки ушбу тенгламалар системасининг  k детерминанти нолдан фарқли. Шундай қилиб ek ларни топиш масаласи ечилди.
Биз кўрган базисда квадратик форма
,
Энди q(x)  x, x квадратик формани e1 , e2 ,..., en базисдаги bik коэффициентларини топамиз. Таърифга асосан bik  ei , ek . Иккинчи тарафдан базиснинг ясалишига кўра
ei , ek   0 агар i  k
(i, k  1,2,..., n) , шунинг учун bik  0 агар i  k .
Бундан ташқари (4) ва (5) га асосан
bkk  ek , ek   k1ek , f1  k 2ek , f2 ...  kkek , fk   kk .
Шунинг учун Крамер қоидасига кўра
k
kk
b

  k 1 .
1 2
1 2
0 2
2
n
1 2 n


 



q(x)      ... 
n1
каноник кўринишга эга бўлади.
Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтиришнинг бундай усулига Якоби усули дейилади.
3. Хақиқий квадратик формалар.
Коэффициентлари ҳақиқий сонлар майдонидан олинган квадратик формалар ҳақиқий квадратик формалар дейилади.
Таъриф-5. Агар ҳар қандай нолдан фарқли x вектор учун q(x)  0 q(x)  0 тенгсизлик бажарилса, q(x) ҳақиқий квадратик форма мусбат (манфий) дейилади.
Сильвестр критерияси деб аталувчи қуйидаги теорема квадратик форманинг мусбат аниқланганлигига жавоб беради.
Теорема-1. A-матрица q(x) квадратик форманинг бирор базисдаги матрицаси бўлсин. У ҳолда q(x) квадратик форманинг мусбат бўлиши учун A матрицанинг барча бурчак минорлари мусбат бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. q(x) квадратик форманинг мусбат бўлсин. A матрицанинг k-бурчак минорини оламиз:
... ek1 , ek 
... e1 , ek 
... ... ,
e1 , e1 
k  ...
ek , e1 
бу ерда x, y-шундай симметрик бичизиқли формаки, q(x)  x, x. Бу минорнинг сатрлари чизиқли эркли эканлигини кўрсатамиз. Бундан минорнинг нолдан фарқлилиги келиб чиқади. Ҳақиқатан ҳам, бу минорнинг сатрларини 1 , 2 ,..., k  R сонларга кўпайтириб, нол векторга тенглаймиз:
1e1 , ei  2e2 , ei ...  kek , ei   0, i  1,2,..., k .
Бундан
i  1,2,..., k .
1e1  2 e2 ...  k ek , ei   0,
Бу муносабатдан эса
тенгликни оламиз. Бу ердан квадратик форманинг мусбатлигига асосан
Аксинча
тенгсизликлардан Якоби усулига асосан квадратик форманинг
ва
бўлсин.




k
 i1 
i 
i
k
i1
i 1 1 2 2 k k i
   e   e  ...   e , e   q  e  0,
k
iei  0,
i1
тенгликка эга бўламиз. e , e ..., e  тизим чизиқли эрклилигига асосан
1 2, k
1  2  ...  k  0 тенгликни оламиз. Бу эса  k минор сатрларининг чизиқли эрклилигини кўрсатади. Демак  k лар нолдан фарқли. a11  0 деб ҳисоблаб, Якоби усулига асосан квадратик форма мусбат бўлганлиги учун i  0, i  1,2,..., n.
i  0, i  1,2,..., n

 0, агар k  p 1, p  2,..., n,
мусбатлигига эга бўламиз. Теорема исботланди.
Қуйидаги теорема квадратик формаларнинг инерция қонуни дейилади.
Теорема-2. Ҳақиқий квадратик форманинг ихтиёрий каноник шаклидаги мусбат ва манфий коэффициентлар сони базисни танлашга боғлиқ эмас.
Исбот. Ҳақиқий q(x) квадратик форманинг иккита e1 , e2 ,..., en  ва f1 , f2 ,..., fn 
каноник шаклга келтирувчи базис берилган бўлиб, q(e1 ),q(e2 ),...,q(en ) сонларнинг p таси мусбат, q( f1 ),q( f2 ),..., q( fn ) сонларнинг r таси мусбат бўлсин. Аниқлик учун
q(e )   0, агар k  1,2,..., p,
k

k
 0, агар k  r 1, r  2,..., n
q( f )   0, агар k  1,2,..., r ;
1 1 2 p 2
Фараз қилайлик p  r бўлсин. V орқали e , e ,...,e  тизимнинг чизиқли қобиғини ва V
p n
jr 1
i1
орқали fr 1 , fr 2 ,..., fn  тизимнинг чизиқли қобиғини белгилаймиз. Бу тизимлар чизиқли эркли бўлганлиги учун dimV1  p, dim V2  n  r .
Бундан
dimV1 V2   dim V1  dim V2  dimV1 V2   p  (n  r)  n  p  r  0 .
Бунга кўра нолдан фарқли x V1 V2 вектор мавжуд, яъни
x  iei   j f j .
p
2
Демак, q(x)  q
 
n
i i j j
i1 jr 1
2
e   0 . Иккинчи томондан q(x)  qf 
  0 . Ушбу зиддият
p  r тенгсизлик ўринли эканлигини кўрсатади. Худди шундай r  p тенгсизлик ўринли эканлигини кўрсатиш мумкин. Демак p  r .
Энди юқорида келтирилган мулоҳозани (q) квадратик формага қўллаб, q квадратик форманинг каноник базисдаги манфий коэффициентлар сони базис танлашга боғлик эмаслигини кўрсатиш мумкин.
Теорема исботланди.
Назарий саволлар.

• Ихтиёрий симметрик бичизиқли форма ўзининг квадратик формаси ёрдамида бир қийматли аниқланишини кўрсатинг.
• Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтиришнинг Якоби усулини асослаб беринг. 3.Квадратик форманинг мусбатлигини аниқловчи Сильвестр критериясини исботланг.

4. Квадратик формалар учун инерция қонунини исботланг.
Таянч тушунчалар.

• Бичизиқли форма.
• Бичизиқли форманинг матрицаси.
• Симметрик бичизиқли форма.
• Квадратик форма.
• Квадратик форманинг матрицаси.
• Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтириш.
• Сильвестр критерияси.
• Инерция қонуни.