10-Маъруза Мавзу: Чизиқли ва квадратик формалар

10-Маъруза
Мавзу: Чизиқли ва квадратик формалар.
Режа:

• Бичизиқли формалар.
• Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтириш.
• Ҳақиқий квадратик формалар.
• Бичизиқли формалар.

F майдон устида V чизиқли фазо берилган бўлсин.
Таъриф-1. Агар икки вектор аргументли скаляр (x, y) функция  :V 2  F ҳар бир аргументи бўйича чизиқли бўлса, яъни

• ҳар қандай x1 , x2 V ва ,   F учун

x1  x2 , y  x1 , y  x2 , y;

• ҳар қандай y1 , y2 V ва ,   F учун

x, y1  y2   x, y1   x, y2 
шартлар бажарилса, бу функцияга бичизиқли форма (функция, функционал) дейилади. Энди dimV  n , e1 , e2 ,..., en  тизим V даги базис, бу базисда x ва y векторларнинг координаталари мос равишда 1 , ...,n ва 1 ,...,n бўлсин. У ҳолда

  

  
ik i
k k
n n n
i i
 i1 k 1  i,k 1
a  k ,
 x, y    e ,  e
бу ерда aik  ei , ek .
Бу aik скалярлар (x, y) бичизиқли форманинг берилган базисдаги коэффициентлари ,
ik i k
nn
A  a   e , e  F эса матрицаси дейилади. Шундай қилиб, берилган базисда
n
i1
бичизиқли формалар ва квадрат матрицалар орасида ўзаро бир қийматли мослик ўрнатилди. Энди базис ўзгарганда бичизиқли форманинг матрицаси қандай ўзгаришини текширамиз.
Агар V да бошқа fk   ik ei , k  1,2,..., n базис олинган бўлса, (x, y) бичизиқли
форманинг янги базисдаги матрицасини B  ik  орқали белгилаб, унинг элементлари учун қуйидаги ифодани топамиз:
 



n
T
n
p,q1 p,q1
pi qk p q ip pq qk
q1
q 
qk
n n
 p1
pi p
ik i k
e , e    a  .
    
    f , f    e ,  e  
Бу тенглик B  CT AC эканлигини кўрсатади, бу ерда C   -биринчи базисдан иккинчи
ik
базисга ўтиш матрицаси. C матрица доим махсусмас бўлгани учун матрицанинг ранги махсусмас матрицага кўпайтирганда ўзгармаганлиги учун A ва B матрицаларнинг ранги тенг. Уларнинг ранги бичизиқли форманинг ранги дейилади.
(1)
минорлари нолдан фарқли бўлсин. Белгилашга асосан
.