Маъруза №10 Скаляр ва вектор майдонлар ва уларнинг айрим хоссалари. Индивидуал (моддий) ҳосила

Маъруза №10
Скаляр ва вектор майдонлар ва уларнинг айрим хоссалари.

1.Индивидуал (моддий) ҳосила. Бирор функциянинг моддий (индивидуал) ҳосиласи ( ) муҳитнинг индивидуал (фиксирланган заррасида) нуқтасида миқдорнинг вақт давомида қандай ўзгаришини кўрсатади. Агар , яъни Лагранж ўзгарувчиларида берилган бўлса, моддий (индивидуал) ҳосила хусусий ҳосилага тенг:
, (1)
Чунки муҳитнинг индивидуал нуқтасида
Функция Эйлер ўзгарувчиларида берилган бўлса, яъни . Бунда хусусий ҳосила (1) га ўхшаб, миқдорнинг фиксирланган нуқтадаги ўзгаришини тавсифлайди. Ҳолбуки муҳитнинг индивидуал нуқтасида
, яъни фазовий координаталар вақтга боғлиқ. Шу сабабли мураккаб функциядан ҳосила олинади
(2)
Бу ерда зарра тезлиги бўлгани учун (2) ни
(3)
кўринишда ёзиш мумкин. Бундан муҳит индивидуал нуқтасининг (зарранинг) тезланиши нинг кўриниши қуйидагича:
а). Лагранжда ўзгарувчиларида (4)
б). Эйлер ўзгарувчиларида
(5)
Декарт координата системасида эса:
(6)
кўринишга эга.
Ҳаракат стационар, яъни вақтга боғлиқ бўлмаса, функцияларнинг локал ҳосиласи нолга тенг бўлади
(7)
Бу ерда T скаляр функция.
Изоҳ1. (3) ва (5) даги қуйидаги ифодалар
ва (8)
конвектив ҳосилалар деб аталади.
Изоҳ2. Индивидуал ҳосила эгри чизиқли координата системасида қаралганда (8) конвектив ҳосилаларни ҳисоблашда скаляр ва вектордан олинган ковариант ҳосилани ҳисоблаш қоидасига амал қилинади.
Градиент-вектор. Бу вектор ёрдамида контравариант базис вектор тушунчаси киритилган эди (М№1). Ихтиёрий скаляр T учун у қуйидагича аниқланади.

Бу ерда - T нинг ўсиш томонига йўналтирилган (Расм) бирлик нормал вектор.
Градиент-векторнинг ихтиёрий йўналишга проекцияси шу йўналиш бўйича олинган ҳосилага тенг
, масалан (9)
Бундан декарт координата системасида
(10)
Конвектив ҳосилани градиент-вектор орқали ёзиш мумкин
(11)
Таъриф. Оқиш (ток) чизиқлари. Оқиш (ток) чизиғи-ҳарбир нуқтасида, ҳар онда урунма ва тезлик йўналиши устма-уст тушадиган чизиқ.
Таърифга кўра элементар кўчиш вектори ва
тезлик параллел, яъни
(12)
Бунда cкаляр- чизиқдаги функция. (12) дан ушбу
_{(13) (12) ток чизиғи дифференциал тенгламасининг вектор ва (13) да проекциялардаги кўринишини оламиз.
Траектория тенгламаси эса ушбу кўринишда ёзилади}
(14)
Изоҳ. Интеграллаш бажарилганда t (вақт) (13) да параметр сифатида, (14) да эса ўзгарувчи сифатида қаралади.
Умумий ҳолда оқиш чизиғи ва траектория устма-уст тушмайди. Қуйидаги икки ҳолда улар устма-уст тушади:

1. 
   Ҳаракат стационар, яъни тезлик кўринишга эга;
   
2. 
   Вақт давомида тезликнинг йўналиши ўзгармасдан фақат миқдори ўзгаради, яъни тезлик кўринишга эга.
   

Оқиш(ток) сирти ва оқиш найчаси таърифлари.