10. Ҳосилага эга бўлган функциялар ҳақидаги теоремалар

Асосий теоремалар


1⁰. Ҳосилага эга бўлган функциялар ҳақидаги теоремалар. Бу теоремлар функцияларни текширишда муҳим рол ўйнайди.
1-теорема (Ферма теоремаси). функция тўпламда берилган. нуқтанинг атрофи учун бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилсин:
1) да
2) мавжуд ва чекли бўлсин.
У ҳолда бўлади.
◄ Айтайлик, да бўлсин. Равшанки, бу ҳолда

бўлади.
Шартга кўра функция нуқтада чекли ҳосилага эга. Шунинг учун

бўлади. Айни пайтда, бўлганда

бўлганда

бўлишидан экани келиб чиқади. ►
2-теорема (Ролль теоремаси). Фараз қилайлик, функция да берилган бўлиб, қуйидаги шартларни бажарсин:
1)
2) да мавжуд ва чекли,
3) бўлсин.
У ҳолда шундай нуқта топиладики, бўлади.
◄ Шартга кўра . Унда Вейерштрасснинг иккинчи теоремасига кўра функция да ўзининг энг катта ва энг кичик қийматларга эришади, яъни шундай нуқталар топиладики,


бўлади.
Агар бўлса, унда да бўлиб, да бўлади.
Агар бўлса, унда бўлганлиги сабабли функция ҳамда қийматларнинг камида биттасига сегментнинг ички нуқтасида эришади. Ферма теоремасига биноан бўлади. ►
3-теорема (Лагранж теоремаси). Фараз қилайлик, функция да берилган бўлиб, қуйидаги шартларни бажарсин:

1. 
   ,
   
2. 
   да ҳосила мавжуд ва чекли бўлсин.
   

У ҳолда шундай нуқта топиладики,

бўлади.
◄ Ушбу
(1)
функцияни қараймиз. Бу функция Ролль теоремасининг барча шартларини қаноатлантиради. Айни пайтда, унинг ҳосиласи

бўлади.
Ролль теоремасига биноан, шундай нуқта топиладики,
(2)
бўлади.
(1) ва (2) муносабатлардан
,
яъни

бўлиши келиб чиқади. ►
1-натижа. Айтайлик, функция да ҳосилага эга бўлиб, да бўлсин. У ҳолда да бўлади.
◄ ни олиб, чеккалари ва бўлган сегментда функцияга Лагранж теоремасини қўллаб бўлишини топамиз. ►
2-натижа. ва функциялари да , ҳосилаларга эга бўлиб, да бўлсин. У ҳолда да бўлади.
◄ Бу натижанинг исботи функцияга нисбатан 1-натижани қўллаш билан келиб чиқади. ►