10. Ҳосилага эга бўлган функциялар ҳақидаги теоремалар

4-теорема (Коши теоремаси). Айтайлик, ва функциялар қуйидаги шартларни бажарсин.
1) , ,
2) да ва ҳосилалар мавжуд ва чекли;
3) да бўлсин.
У ҳолда шундай нуқта топиладики,

бўлади.
◄ Аввало бўлишини таъкидлаб ўтамиз, чунки бўладиган бўлса, унда Ролль теоремасига кўра шундай нуқта топилар эдики, бўлар эди. Бу 3)-шартга зид.
Қуйидаги

функцияни қараймиз. Бу функция Ролль теоремасининг барча шартларини қаноатлантиради. Унда Ролль теоремасига биноан шундай нуқта топиладики,
(3)
бўлади.
Равшанки,
(4)
(3) ва (4) муносабатлардан

яъни

бўлиши келиб чиқади. ►
1-мисол. учун тенгсизлик исботлансин.
◄ Айтайлик, бўлсин. га да Лагранж теоремасини қўллаймиз. Унда шундай нуқта топиладики,

бўлади. Агар да эканини эътиборга олсак, унда юқоридаги муносабатдан

бўлиши келиб чиқади. ►
2-мисол. Ушбу

тенгсизлик исботлансин.
◄ Айтайлик, бўлсин. Унда функцияга да Лагранж теоремасини қўллаб топамиз:

Агар да бўлишини эътиборга олсак, унда кейинги муносабатдан бўлиши келиб чиқади.
Агар бўлса, унда функцияга да Лагранж теоремасини қўллаб,

ни ва бўлишини эътиборга олиб, эканлигини топамиз.
Равшанки, да . Демак, да . ►
3-мисол. Ушбу

тенгсизлик исботлансин.
◄ сегментда функцияни қараймиз. Бу функция шу сегментда узлуксиз ва да ҳосилага эга. Унда Лагранж теоремасига кўра шундай нуқта топиладики,
(5)
бўлади.
Равшанки,
. (6)
(5) ва (6) муносабатлардан

бўлиши келиб чиқади. ►