11 – ma’ruza. Mavzu: Bosh inersiya o‘qlari va bosh inersiya momentlari. Reja

12.3. Bosh o‘qlar va bosh inersiya momentlari

O‘zaro perpendikulyar bo‘lgan ixtiyoriy o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarining miqdori burchakga bog‘liq. Og‘ish burchagining shunday bir qiymatini topish mumkinki, unda inersiya momentlari ekstremal qiymatlarga erishadi. Og‘ish burchagining bunday miqdorini topish uchun inersiya momenti ifodasi hosilasini olib nolga tenglaymiz:

(3.1)
Bu tenglikni quyidagi ko‘rinishga keltirish mumkin:
(3.2)
Bundan
(3.3)
Bu formuladan va burchaklar ostida o‘tuvchi o‘zaro perpendikulyar bo‘lgan ikkita o‘q holati aniqlanadi. Bu o‘qlarga nisbatan ekvatorial inersiya momentlar ekstemal qiymatlarga erishadi. Bunday o‘qlarga bosh o‘qlar deb ataladi. Bosh o‘qlarga nisbatan olingan inersiya momentlariga bosh inersiya momentlari deb ataladi.
Bosh inersiya momentlarini aniqlaymiz.
(2.4) formulani boshqacha ko‘rinishda ifodalab olamiz. Buning uchun trigonometriyadan ma’lum bo‘lgan quyidagi bog‘lanishlardan foydalanamiz:
. (3.4)
Unda (2.4) formula quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
(3.5)
Bu formulaga qo‘yib qavsdan chiqarib quyidagini hosil qilamiz:
(3.6)
(3.3) formulani va trigonometriyadan ma’lum bo‘lgan ifodani e’tiborga olish natijasida qo‘yidagi ifoda hosil bo‘ladi:
(3.7)
(3.7) ni (3.6) ifodaga qo‘yib, qavs ichidagi ifodalarni umumiy maxrajga keltirib va ba’zi qisqartirish amallarini bajarish natijasida quyidagi formula hosil bo‘ladi:
(3.8)
Xulosa qilib shuni aytish mumkin.
1. Bosh o‘qlarga nisbatan inersiya momentlari ekstremal qiymatlarga erishadi.
2. Bosh o‘qlarga nisbatan markazdan qochirma inersiya momenti nolga teng.
3.Agar bo‘lib, bo‘lsa bosh o‘qlar dastlabki o‘qlarga nisbatan ostida o‘tadi.
12.4-§. Tekis kesim yuzasi inersiya radiuslari

Tekis kesim yuzining koordinata o‘qlariga nisbatan inersiya radiuslari quyidagicha ifodalanadi:

(4.1)
Inersiya radiuslari bilan o‘lchanadi.
Inersiya momentlarini inersiya radiuslari orqali quyidagicha ifodalash mumkin:
(4.2)
Bosh o‘qlarga nisbatan bosh inersiya radiuslari quyidagicha ifodalanadi:
(4.3)