11 – ma’ruza. Mavzu: Bosh inersiya o‘qlari va bosh inersiya momentlari. Reja

11 – ma’ruza.
Mavzu: Bosh inersiya o‘qlari va bosh inersiya momentlari.

Reja:

1.Murakkab tekis kesim yuzalarining inersiya momentlari;
2. Inersiya momentlarini o‘qlarni qo‘zg‘almas nuqta atrofida buralishiga bog‘liqligi;
3. Bosh o‘qlar va bosh inersiya momentlari;
4. Tekis kesim yuzasi inersiya radiuslari.


Tayanch iboralar:

Geometrik xarakteristikalar, tekis kesim yuzalarining o‘qqa nisbatan statik moment, tekis kesim yuzalarining o‘qqa nisbatan inersiya momentlari, kesim yuzalarining o‘qqa nisbatan qarshilik momentlari, og‘irlik markazi, murakkab kesim, oddiy kesim, elementar yuzacha, parallel o‘qlar, integrallar, markaziy o‘qlar, to‘g‘ri to‘rtburchak, uchburchakli tekis kesimning yuzasi, doira, yarim doira, halqa, og‘ish burchagi, bosh o‘qlar, bosh inersiya momentlari, qarshilik momentlari.

12.1-§.Murakkab tekis kesim yuzalarining inersiya momentlari

Murakkab tekis kesim yuzasi inersiya momentlarini hisoblash uchun kesim yuzasini inersiya momentlari bir qancha mumkin bo‘lgan ma’lum oddiy kesimlarga ajratamiz. Shundan so‘ng murakkab tekis kesimning biror o‘qqa nisbatan inersiya momentini topish uchun har qaysi oddiy kesimning shu o‘qqa nisbatan inersiya momentlari (4.4) formula asosida aniqlanib keyin ularni qo‘shamiz, ya’ni:

. (1.1)
Bunda
(1.2)
Bu erda
ajratilgan oddiy tekis kesimlarning markaziy o‘qlariga nisbatan inersiya momentlari;
odiy kesim markaziy o‘qi bilan murakkab kesim markaziy o‘qlari orasidagi eng qasqa masofa.
Xuddi shuningdek o‘qiga nisbatan inersiya momenti va markazdan qochirma inersiya momentlari aniqlanadi.


12.2. Inersiya momentlarini o‘qlarni qo‘zg‘almas nuqta atrofida buralishiga bog‘liqligi.

Qaralayotgan tekis kesim yuzasining va o‘qlariga nisbatan inersiya momentlari berilgan bo‘lsin. Koordinata o‘qlarini soat millari bo‘yicha burchakka burib va o‘qlarini hosil qilamiz. Tekis kesim yuzasining yangi o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz. Buning uchun tekis kesim yuzasidan elementar yuzacha ajratamiz uning yangi o‘qlardagi koordinatalarini dastlabki o‘q koordinatalari bilan bog‘laymiz (12.9-chizma):

(2.1)
Bu bog‘lanishlardan foydalanib koordinata o‘qiga nisbatan tekis kesimning inersiya momentini quyidagicha ifodalash mumkin:
(2.2)

12.9-chizma. Koordinata o‘qlari burilganda inersiya momentlarining o‘zgarishi.
Bu tenglamadagi integrallar quyidagilarni ifodalaydi:
va . (2.3)
Unda (2.2) inersiya momentini quyidagicha yozish mumkin:
(2.4)
Xuddi shuningdek koordinata o‘qiga nisbatan tekis kesimning inersiya momentini quyidagicha ifodalash mumkin:
(2.5)
Tekis kesim yuzining markazdan qochirma inersiya momenti quyidagiga teng:
(2.6)
Markazdan qochirma inersiya momenti ifodasiga ba’zi trigonometrik o‘zgartirishlar kiritib quyidagicha ifodalaymiz:
(2.7)
Yuqoridagi (2.4) va (2.5) tengliklarni hadlab qo‘shib quyidagi ifodani hosil qilamiz:
(2.8)
(2.4) va (2.5) tengliklarni hadlab ayirib quyidagi ifodani hosil qilamiz:
(2.9)
Xulosa qilib shuni aytish mumkin.
1. O‘zaro perpendikulyar bo‘lgan o‘qlarga nisbatan inersiya momentlari va markazdan qochirma inersiya momentlari ma’lum bo‘lsa, shu o‘qlar koordinata boshidan o‘tuvchi o‘zaro perpendikulyar bo‘lgan ixtiyoriy boshqa o‘qlarga nisbatan inersiya momentlarini topish mumkin.
2. O‘zaro perpendikulyar bo‘lgan ixtiyoriy burchakka burilgan o‘qlarga olingan inersiya momentlari og‘ish burchagining funksiyasidir.
3.O‘zaro perpendikulyar bo‘lgan o‘qlar koordinata bosh atrofida ixtiyoriy burchakka burilganda bu o‘qlarga nisbatan olingan inersiya momentlarining yig‘indisi o‘zgarmas miqdor bo‘lib, u qutb inersiya momentiga teng.