11-Mavzu. Invariant qism fazolar. Xos son va xos vektorlar

2-teorema. Agar А chiziqli operator n ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo‘lsa, u holda ularni bazis uchun tanlab olsak, biz А operator matritsasini diagonal shaklga keltirgan bo‘lamiz. Aksincha, agar biror bazisda operator matritsasi diagonal shaklda bo‘lsa, u holda bu bazisning hamma vektorlari xos vektorlardan iboratdir.
Izoh. Chiziqli operatorning n ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo‘lishi ochiqdan-ochiq ko‘rinib turgan muhim bir holni bu yerda qayd qilib o‘tamiz. Ammo dastlab quyidagini ko‘rib chiqamiz.
Agar lar А operatorning xos vektorlari bo‘lsa va ularga mos bo‘lgan xos qiymatlarning har ikkitasi turli bo‘lsa, u holda lar chiziqli erklidir.
uchun bu tasdiq o‘z-o‘zidan ravshan. Bizning tasdig‘imiz ta vektor uchun o‘rinli deylik; uni k ta vektor uchun isbot qilaylik. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni
(3)
bo‘lsin va shu bilan birga koeffitsiyentlardan kamida bittasi, masalan, noldan farqli bo‘lsin. (3) tenglikning ikkala tomoniga А operatorni tatbiq qilamiz. U holda

ya’ni
.

3. 
   tenglikni ga ko‘paytirib, keyingi tenglikdan ayirsak, ushbu ifodani hosil qilamiz:
   

,
bunda, birinchi koeffitsiyent avvalgidek noldan farqli (chunki shart bo‘yicha holda ). Biz ziddiyatlikka uchradik, chunki induksiya faraziga ko‘ra vektorlar chiziqli erkli edi. Bundan bevosita quyidagi kelib chiqadi.
Agar А operatorning xarakteristik ko‘phadi n ta har xil ildizga ega bo‘lsa, u holda А operator matritsasini diagonal shaklga keltirilishi mumkin.
Haqiqatan, xarakteristik tenglamaning har bir ildiziga kamida bitta xos vektor to‘g‘ri keladi. Bu vektorlarga mos bo‘lgan xos qiymatlarning xarakteristik tenglama ildizlarining hammasi turlicha bo‘lgani uchun, yuqorida isbot qilingan teoremaga muvofiq, biz n ta chiziqli erkli xos vektorlarga egamiz. Agar vektorlarni bazis uchun qabul qilsak, u holda А operator matritsasi diagonal matritsa bo‘ladi.
Agar xarakteristik ko‘phad karrali ildizga ega bo‘lsa, u holda chiziqli erkli xos vektorlarning soni n dan kichik bo‘lishi mumkin. Masalan, darajasi dan yuqori bo‘lmagan ko‘phadlar fazosida har bir ko‘phadga uning hosilasini mos qilib qo‘yuvchi А operator faqat bitta xos qiymatga va bitta proporsionallikkacha aniqlik bilan xos vektorga ega. Haqiqatan ham, darajasi k>0 bo‘lgan har qanday P(t) ko‘phad uchun ko‘phadning darajasi ga teng va shuning uchun tenglik faqat  =0 va P(t)=const bo‘lgan holdagina mumkin. Demak, bunday operatorga diagonal matritsani mos qilib qo‘yuvchi bazis mavjud emas.
Quyida biz diagonal shaklga keltiriladigan chiziqli operatorlarning ba’zi sinflarini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy chiziqli operator qanday eng sodda ko‘rinishga keltirilishi mumkin ekanligi haqidagi masalani keyinroq ko‘rib chiqamiz.
2-bandda А operatorning xarakteristik ko‘phadini matritsaning determinanti sifatida aniqladik, bunda А matritsa А operatorning matritsasi Е esa birlik matritsa. Xarakteristik ko‘phad bazisning tanlab olinishiga bog‘liq emasligini isbot qilamiz. Haqiqatan, boshqa bazisga o‘tganda А operatorning А maritsasi ko‘rinishni oladi, bu yerda С – yangi bazisga o‘tish matritsasi. Shunday qilib, yangi bazisda xarakteristik ko‘phad matritsaning determinantiga teng ekan. Ammo

va ko‘paytmaning determinanti determinantlar ko‘paytmasiga teng bo‘lgani uchun
,
shu bilan tasdiq isbot bo‘ldi. Shunday qilib, biz kelgusida А operatorning xarakteristik ko‘phadi haqida gapirishimiz mumkin.