11-Mavzu. Invariant qism fazolar. Xos son va xos vektorlar

4–misol.

matritsaning xarakteristik ko‘phadi topilsin.
5–misol.













.

,

matritsaning xarakteristik ko‘phadi topilsin.
Determinantning xossalariga asosan
.
Xarakteristik ko‘phadni А operatorning А matritsasi elementlari orqali oshkor holda ifoda etaylik. Avval umumiyroq bo‘lgan determinantni hisoblaymiz: bunda А va В – berilgan ikki matritsa. Demak, biz  ga nisbatan ushbu ko‘phadni hisoblashimiz kerak:
.
Bu determinantda har bir ustun ikki ustun yig‘indisidan iborat bo‘lgani uchun, u determinantlar yig‘indisiga ajralishi mumkin. Q() da ozod had ushbu determinantga teng:
. (4)
Q() da ning koeffitsiyenti determinantlar yig‘indisiga teng bo‘lib, ularning har biri (4) dan matritsaning qandaydir k ustunlarini matritsaning mos ustunlarini almashtirish natijasida hosil bo‘lgan.
Endi ni hisoblash masalasiga o‘tamiz. ning koeffitsiyentlarini hisoblash uchun, biz determinantlar yig‘indisini olishimiz kerak bo‘lib, bu determinantlarning har biri matritsaning k ta ustunini birlik matritsaning k ta ustuni bilan almashtirishdan hosil qilinadi. Ammo bunday determinantning har biri matritsaning k – tartibli bosh minoriga teng. Shunday qilib, А matritsa xarakteristik ko‘phadining oxirgi ko‘rinishi

bo‘lib, bunda р₁ – diagonal elementlarning yig‘indisi р₂ – ikkinchi tartibli bosh minorlar yig‘indisi va hokazo. Nihoyat, p_n esa, А matritsaning determinantidir.
А operatorning А matritsasi bo‘yicha tuzilgan sonlar faqat shu operatorning o‘ziga bog‘liq, chunki bu xossaga xarakteristik ko‘phad bo‘ysunadi, buni biz ko‘rsatgan edik. p_i koeffitsiyentlar orasida А matritsa determinantiga teng bo‘lgan p_n va А matritsa diagonal elementlari yig‘indisiga teng bo‘lgan р₁ lar katta ahamiyatga ega. Diagonal elementlari yig‘indisi А matritsaning izi deyiladi. Matritsa izi xarakteristik ko‘phadning ildizlari xos qiymatlar yig‘indisiga teng bo‘lib, shu bilan birga, har bir ildiz xarakteristik ko‘phadga qanday karralilik bilan kirsa, shunday karralilik bilan kiradi, bu albatta ravshan.
Chiziqli operator xos vektorlarini hisoblash xos qiymatlarni bo’lishni va n– darajali xarakteristik tenglamani yechishni talab qiladi. Xususiy holda xarakteristik ko‘phad ildizlarini bevosita topish mumkin.
Agar А operatorning matritsasi uchburchakli shaklda bo‘lsa, ya’ni
(5)
ko‘rinishga ega bo‘lsa u holda diagonalda turgan sonlar, ya’ni lar xos qiymatlardan iborat bo‘ladi.
Darhaqiqat, bu holda berilgan matritsaning xarakteristik ko‘phadi bevosita hisoblanadi va ushbu ko‘rinishga ega:
,
demak, uning ildizlari - lardan iborat.