«ratsional sonlar maydoni ustidagi ko’phadlar va algebraik sonlar»

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM
VAZIRLIGI
AJINIYOZ NOMIDAGI NUKUS DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI

Fizika - matematika fakulteti Matematika o’qitish metodikasi kafedrasi

«Matematika o’qitish metodikasi» ta‘lim yo’nalishining 3^v - guruh talabasi
Jumamuratova Gulchehraning matematika o’qitish metodikasi Algebra va sonlar
nazariyasi fanidan

«RATSIONAL SONLAR MAYDONI USTIDAGI KO’PHADLAR VA
ALGEBRAIK SONLAR» mavzusidagi

KURS ISHI

Kafedra mudiri:

dots. B. Prenov

Ilmiy rahbar:

dots.N.Djumabaev

Bajargan:

G.Jumamuratova

Nukus – 2022

Reja:
I.Kirish
II.Asosiy qism
1-§.Ko’phadning ratsional ildizlari........................................
2-§.Eyzenshteyn ko’phadlar uchun keltirilmaslik alomati....
3-§.Algebraik sonlar...............................................................
4-§.Algebraik sonlar maydoni va uning yopiqligi..................
III.Xulosa
IV.Foydalanilgan adabiyotlar

Kirish
Agar hozirgi zamon matematika tili – to’plam tilida ifoda qilsak, ya’ni natural sonlar to’plami N bilan, butun sonlar to’plamini Z bilan belgilasak, u holda N Z bo’ladi, ya’ni natural sonlar to’plami butun sonlar to’plamining qism-to’p;amidir.
Kasr son tushunchasi. O’lchash (vaqtni, uzunlikni,yuzni, hajmni, haroratni va h.k.) natijasi har doim butun son chiqavermaydi. Bunday hollarda butunninh qismi - kasr hosil bo’ladi.
Ratsional sonlar. kasr ko’rinishiga keltirsh mumkin bo’lgan kasrlarga aytiladi.
Butun va kasr sonlar birgalikda ratsional sonlar deyiladi, ratsional sonlar to’plamini Q bilan belgilasak, bunday yozish mumkin: N Z Q.
O’nli sanoq sistemasi VII-VIII asrlarda Hindistondan arablarga o’tgan, IX-X asrlarda esa Yevropaga ko’chirilgan.

1-§. Ko’phadning ratsional ildizlari

Asosiy tushunchalar:  keltiriladigan ko‘phad, keltirilmaydigan ko‘phad. Agar F maydon ustida berilgan va darajasi nolga teng bo‘lmagan f(x) Ko‘phadni shu maydon ustidagi va darajalari f(x) ning darajasidan kichik ikkita g(x), h(x) ko‘phadlar ko‘paytmasi shaklida ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda f(x) Ko‘phadni F maydon ustida keltiriladigan ko‘phad, aksincha, agar bunday Ko‘paytma shaklida ifodalash mumkin bo‘lmasa, u holda f(x) ni F maydon ustida keltirilmaydigan ko‘phad deyiladi.
Ratsional sonlar maydoni ustida berilgan har qanday
f(x)= + +...+ x+
ko’phadning ildizi
+ +...+ x+
Tenglamaning ham ildizi bo’ladi. Shuning uchun bundan so’ng biz faqatgina n-darajali tenglamaning ratsional ildizlarini topish bilan shug’ullanamiz.
. Kasr koeffitsientli tenglamani butun koeffitsientli tenglama bilan almashtirish mumkin.
Isboti. Buning uchun (1) tenglamaning ikki tomoni barcha
, , ,...,
koeffitsientlarining umumiy maxrajiga ko’paytirish kifoya.
.Butun koeffitsientli tenglamani bosh koeffitsienti 1ga teng butun koeffitsientli tenglama bilan almashtirish mumkin.
Isboti. (1) tenglamaninh koeffitsientlarini butun deb hisoblab, x= almashtirishni bajarsak (1) tenglama
4
+ + +....+ + =0
ko’rinishni oladi. Bundan ushbuni hosil qilamiz:
+ + +...+ y+ =0 .
.Butun koeffitsientli
+ +...+ x+
Tenglamaning ratsional ildizlari faqat butun sonlar bo’ladi.
Isboyi. (2) tenglama ildizga ega bo’lsin (a va b –butun sonlar , b ); bu kasrni qisqarmaydigan deb hisoblash mumkin; ildizni (2) tenglamaga qo’yib,
+...+ + =0
Yoki
=-( + b+...+ ) (3)
Tenglikni hosil qilamiz. qisqarmaydigan kasrdir.
Shu sababli (3) tenglikning bo’lishi mumkin emas, chunki qisqarmaydigan kasr butun songa teng bo’la olmaydi.
. (2) tenglamaning butun ildizi ozod hadining bo’luvchisidir. Isboti. a ni (2) tenglamaning butun ildizi desak,
+ + ...+ x+

=a(- - ...- )
5
. (2) tenglamaning chap tomonini x-a (a-butun son ) ga bo’lishdan chiqqan bo’linma butun koeffitsientli ko’phaddir.
Isboti. Gorner sxemasi bo’yicha bo’linmaning koeffitsientlari quyidagi butun sonlarga teng:
, , , .......,
.
. Agar a butun son (20 tenglamaning ildizi bo’lsa, va ham butun sonlar bo’ladi .
Isboti. Haqiqattan, f(x)=(x-a) , =- ,
=- – butun sonlar .
. A butun son (2) tenglamaning ildizi bo’lishi uchun
= , = , ....,
= , = =1 (4)
Nisbatlar butun son bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zaruriyligi. a- tenglamaning butun ildizi bo’lsin. Gorner sxemasidan foydalanib, f(x) ni x-a ga bo’lamiz. Bu holda bo’linmaning koeffitsientlari
, , ,......., .
tengliklar bilan aniqlanib, qoldiq nolga teng bo’ladi , ya’ni 0= . Bu tengliklardan
= , = , ...., -1=
6
kelib chiqadi. Agar - = , - = ,...., -1= deb belgilasak, (4) tengliklarni hosil qilamiz.
Yetarliligi. Endi, a butun son bo’lgani uchun (4) tengliklar kuchga ega deylik. Bu tengliklarning so’ngisidan ni topamiz. Gorner sxemasidan . Demak - . Ikkinchi tenglikdan - -a = +ab hosil bo’ladi . Demak, yana Gorner sxemasi bo’yicha topiladigan - +a tenglikka asosan . Bu jarayonni davom ettirib, birinchi tenglikdan
ni hosil qilamiz. Ammo Gorner sxemasi bo’yicha
. Shu sababli r=0 . Demak, f(x) ni yana x-a ga bo’lishdan chiqqan qoldiq nolga teng bo’lganligidan, a ni butun son (2) tenglamaning ildizini ifodalaydi.
Shunday qilib ratsional ildizlarini hisoblash jarayoni quyidagidan iborat:

1. 
   Avval tenglamani (2) ko’rinishga keltiramiz;
   
2. 
   Ozod bo’luvchilarini olib tekshiramiz;
   
3. 
   Agar a ozod hadning bo’luvchisi bo’lsa, f(1) va f(-1) ning a-1 va a+1 ga bo’linish bo’linmasligini tekshiramiz;
   
4. 
   va nisbatlardan birontasi butun son bo’lmasa, a ildiz bo’lmaydi. Sinovdan o’tgan a ni olib, - xossaning bajarilishini tekshiramiz. Buning uchun quyidagi sxemani tuzamiz;
   

					1
			...

Bunda , ... , , sonlar (4) tengliklarga asosan topiladi. Agar butun son va bo’lsa gina, a ildiz bo’ladi.

Misol. Ushbu tenglamani qaraylik:
7
.
Avval butun koeffitsientli tenglamaga almashtiramiz:

So’ngra tennglamani x= almashtirish bilan (2) ko’rinishga keltiramiz :
(5)
Bunda 10000 ozod hadning bo’luvchilari juda ko’p. Shu sababli hisoblashni qisqartirish uchun avval haqiqiy ildizlarning chegaralarini topamiz.
Musbat ildizlarning chegaralari 0 va 16 ekanini aniqlaymiz. (5) tenglamaning manfiy ildizlari yo’q, chunki y=-z almashtirish natijasida hosil bo’lgan Tenglamaning chap tomoni z ning musbat qiymatlarida nol bo’lmagani uchun tenglamaning musbat ildizlari yo’q. 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16 bo’luvchilari bilan chegaralanish kifoya.
Endi f(-1)=3596, f(1)=19818 ekanini topamiz.
4 soni ildiz bo’la olmaydi, chunki f(-1) son a+1=4+1=5 , a+1=5 ga bolinmaydi. Shunga o’xshash, 8,10, 16, ham ildiz bo’la olmaydi. 2 va 5 ni olganimizda f(1) va f(-1), mos ravishta, a-1=2-1=1, a-1=1, a-1=5-1=4, a-1=4 ga va a+1=2+1=3, a+1=5+1=6 ga bo’linadi. Shu sababli , 2 va 5 uchun - xossani tekshirib ko’ramiz.

-10000	8000	-1700	110	-7	1
-5000	1500	-100	5	-1

-10000	8000	-1700	110	-7	1
-2000	1200	-100	2	-1

8
Demak, (5) tenglama =2 va =5 dan iborat ikkita butun ildizga ega. Shu sababli berilgan tenglamaning ratsional ildizlari = va = bo’ladi. Darajasi 1 dan kichik bo‘lmagan komplekskoeffitsientli xar qanday ko‘phad kamida bitta kompleks ildizga ega.Agar d(x) ko‘phad f(x) va φ(x) ko‘phadlarning umumiy bo‘luvchisi bo‘lib,d(x) ko‘phad f(x) va φ(x) larning ixtiyoriy umumiy bo‘luvchisiga bo‘linsa, uholda d(x) bo‘luvchini f(x) va φ(x) ko‘phadlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi(EKUB) deyiladi va uni (f(x);φ(x)) ko‘rinishda belgilanadi. Bu yerda aytaylik x=y bo‘lsin. U holda bo‘lib, F(x;x) ni f(x) ko‘phadning formal hosilasi deyiladi.

9
2- Eyzenshteyn ko’phadlar uchun keltirilmaslik alomati

Teorema (Eyzenshteyn alomati). Berilgan butun koeffitsientli
f(x)= + +...+
kophadning bosh hadi koeffitsienti dan boshqa barcha koeffitsientlari p tub songa bòlinib, ozod hadi esa bòlinmasa, u holda f(x) kòphad Q ratsional sonlar maydoni ustida keltirilmaydigan kòphad boladi
Isboti. Faraz qilaylik f(x) kòphad Q maydon ustida keltiriladigan kòphad , ya'ni f(x)=h(x)*g(x) tenglik òrinli bolib, g(x), h(x) kòphadlarning koeffitsientlari butun sonlar bòlsin. Aytaylik
g(x)= + +...+ (
h(x)= + +...+ (
berilgan bo’lsin.
Yuqoridagi tenglikka ko’ra 1 , m bo’lganda
f(x)= + +...+ =( + ) ( + +...+ ) (1) munosabat kelib chiqadi. Bunda
(2)
(3)
Teorema shartiga asosan,
/p, × (4)
o’rinli.
(2), (4) munosabatlardagi sonlardan faqat bittasi p ga bo’linadi .
10
Aytaylik,
, b p (5)
bo’lsin teorema shartiga asosan . Bundan (3) ga
×p. (6)
G(x0 ko’phad koeffitsientlarining dan boshqa yana bir nechta koeffitsientlari pga bo’linmasligi mumkin.
G(x) ko’phad koeffitsientlarining p ga bo’linmaydiganlaridan birinchisi bo’lsin, lar p ga bo’linib son p ga bo’linmasin. Bunda s dir. Ko’phadlarni ko’paytirish qoidasiga asosan oldidagi koeffitsient quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(s .
, , ..., sonlar p ga bo’lingani uchun yuqoridagi qavs ichidagi ifoda p ga bo’linadi bo’gani uchun son pga bo’linmaydi. Teorema shartiga ko’ra s bo’lgani uchun son p ga bo’linishi kerak edi. Bu qarama- qarshilik farazimizning noto’g’riligini ko’rsatadi. Demak berilgan f(x) ko’phad Q ratsional sonlar maydoni ustida keltirilmaydigan ko’phad bo’ladi.
Butun sonlar halqasi ustidagi polinom deyiladi ibtidoiy agar uning koeffitsientlarining eng katta umumiy bo‘luvchisi 1 bo‘lsa. Ratsional koeffitsientli ko‘phad. yagona yo'l deb ataladigan musbat ratsional sonning mahsuloti sifatida ifodalanadi mazmuni polinom va tub ko'phad. Tub koʻphadlarning koʻpaytmasi ibtidoiy koʻphaddir. Bundan kelib chiqadiki, agar butun sonli koeffitsientli ko'phad maydonda kamaytirilsa ratsional sonlar, keyin u butun sonlar halqasi ustida kamaytirilishi mumkin. Shunday qilib, ko'phadni ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydigan omillarga ko'paytirish masalasi butun sonlar halqasidagi shunga o'xshash masalaga keltiriladi.

Butun sonli koeffitsientli va mazmuni 1 boʻlgan koʻphad va uning boʻlsin ratsional ildiz. Ko‘phadning ildizini qaytarilmas kasr sifatida ko‘rsatamiz. Polinom f(x) ibtidoiy koʻphadlarning koʻpaytmasi sifatida ifodalanadi. Binobarin,

A. sanoqchi bo‘luvchi,
B. maxraj - boʻluvchi
C. har qanday butun son uchun k ma'nosi f(k) - ga qoldiqsiz bo'linadigan butun son bo’ladi. Ro'yxatga olingan xususiyatlar topish muammosini kamaytirishga imkon beradi ratsional ildizlar yakuniy sanabga ko‘pnom. Xuddi shunday yondashuv polinomni kengaytirishda ham qo'llaniladi f Kroneker usulida ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydigan omillarga. Agar polinom bo'lsa f(x) daraja n beramiz, keyin omillardan biri eng ko'p darajaga ega n/2. Bu omilni bilan belgilaymiz g(x). Polinomlarning barcha koeffitsientlari butun son bo'lganligi sababli, har qanday butun son uchun a ma'nosi f(a) ga qoldiqsiz bo‘linadi g(a). Keling, tanlaymiz m= 1+n/2 ta alohida butun son a men, i=1,…,m. Raqamlar uchun g(a i) chekli sonli imkoniyatlar mavjud (nolga teng bo‘lmagan har qanday sonning bo‘luvchilari soni chekli), demak, bo‘luvchi bo‘lishi mumkin bo‘lgan chekli sonli ko‘phadlar mavjud. f(x). To'liq sanab o'tib, biz ko'phadning qaytarilmasligini ko'rsatamiz yoki uni ikkita ko'phadning ko'paytmasiga aylantiramiz. Ko'rsatilgan sxemani barcha omillar qaytarilmas polinomga aylanmaguncha har bir omilga qo'llaymiz.
Ba'zi ko'phadlarning ratsional sonlar maydoniga qaytarilmasligini oddiy Eyzenshteyn mezoni yordamida aniqlash mumkin.
Bo'lsin f(x) butun sonlar halqasi ustidagi ko‘phaddir. Agar tub son bo'lsa p, nima
I. Ko‘phadning barcha koeffitsientlari f(x), eng yuqori darajadagi koeffitsientdan tashqari, bo'linadi p
II. Eng yuqori darajadagi koeffitsient ga bo'linmaydi p
III. Erkin atama ga bo'linmaydi
Keyin polinom f(x) ratsional sonlar maydonida kamaytirilmaydi.
Shuni ta'kidlash kerakki, Eyzenshteyn mezoni beradi etarli sharoitlar polinomlarning qaytarilmasligi, lekin shart emas. Demak, polinom ratsional sonlar maydonida qaytarilmaydi, lekin Eyzenshteyn mezoniga javob bermaydi. Eyzenshteyn mezoniga ko'ra polinom qaytarilmasdir. Demak, ratsional sonlar maydonida darajaning qaytarilmas polinomi mavjud. n, qayerda n 1 dan katta har qanday natural son.Qaytarib bo'lmaydigan polinom notrivial ko'phadlarga parchalanib bo'lmaydigan ko'phaddir. Qaytarib bo'lmaydigan polinomlar polinom halqasining qaytarilmas elementlaridir.Maydon ustidagi kamaytirilmaydigan ko'phad ko'phaddir, maydon ustidagi o'zgaruvchilardan halqaning oddiy elementi, ya'ni ko'paytma sifatida ifodalanishi mumkin emas, bu erda va koeffitsientlari dan bo'lgan ko'phadlar, doimiylardan farq qiladi. F maydonidagi f ko'phad, agar u musbat darajaga ega bo'lsa va ahamiyatsiz bo'luvchi bo'lmasa (ya'ni, har qanday bo'luvchi u bilan yoki birlik bilan bog'langan bo'lsa) qisqartirilmaydigan (oddiy) deyiladi.
Ta’rif 1
Bo'lsin R- qaytarilmas va lekin F[x] halqasining har qanday ko‘phadidir. Keyin ham R ajratadi lekin, yoki R Va lekin muqobildirlar.
Ta’rif 2
Bo'lsin f∈ F[x] va f = 1 ning darajasi, demak, f qaytarilmas ko'phaddir.
Misol uchun: 1. Q maydoni ustidan x+1 ko‘phadni oling. Uning darajasi 1 ga teng, demak u kamaytirilmaydi. x2 +1 qaytarilmaydi, chunki ildizlari yo'q
Eyzenshteyn mezoni nemis matematigi Ferdinand Eyzenshteyn nomi bilan atalgan ko‘phadning qaytarilmasligi mezoni hisoblanadi. (An'anaviy) nomga qaramay, bu aniq belgi, ya'ni etarli shart - lekin "mezon" so'zining matematik ma'nosiga asoslanib, taxmin qilinganidek, umuman zarur emas.
Teorema (Eyzenshteyn mezoni). R faktorial halqasi ustidagi ko‘phad bo‘lsin ( n>0) va ba'zi bir qaytarilmas element uchun p quyidagi shartlar bajariladi:
Natija. Har qanday sohada algebraik raqamlar har qanday oldindan belgilangan darajadagi qaytarilmas polinom mavjud; masalan, ko'phad, bu erda n>1 va pЇ qandaydir tub son.
R - butun sonlar halqasi va F - ratsional sonlar maydoni bo'lganda, ushbu mezonni qo'llash misollarini ko'rib chiqing.
Misollar:
Ko‘phad Q ga nisbatan qaytarilmaydi.
Doira bo'linish ko'phadini qisqartirib bo'lmaydi. Haqiqatan ham, agar u kamaytiriladigan bo'lsa, unda ko'phad ham kamaytiriladi va birinchisidan tashqari uning barcha koeffitsientlari binomialdir, ya'ni ular quyidagilarga bo'linadi. p, va oxirgi koeffitsient `omin p va bundan tashqari, u Eyzenshteyn mezoni bilan bo'linmaydi, farazdan farqli o'laroq.Quyidagi beshta polinom ba'zilarini ko'rsatadi elementar xususiyatlar qaytarilmas polinomlar:
Butun sonlarning Z halqasida birinchi ikkita ko'phad kamaytiriladigan, oxirgi ikkitasi esa qaytarilmaydigan. (Uchinchisi umuman butun sonlar ustidagi polinom emas).Ratsional sonlarning Q maydonida dastlabki uchta ko'phad kamaytiriladigan, qolgan ikkitasi esa qaytarilmas.
Haqiqiy sonlarning R maydonida dastlabki to'rtta ko'phad kamaytirilishi mumkin, ammo qaytarilmas. Haqiqiy sonlar sohasida chiziqli ko'phadlar va haqiqiy ildizlari bo'lmagan

Algebraik sonlar.

Biz yuqorida ko’rip o’tganimizdek, ratsional koeffitsientli n-darajali har qanday ko’phad kompleks sonlar maydonida n ta ildizga ega bo;ladi. Bu ildizlardan ba’zi birlari haqiqiy sonlardan, ba’zilari esa a+bi (b shaklida mavhum sondan iborat bo’ladi.
Endi masalani boshqacha qaraymiz. Har qanday haqiqiy son bironta ratsional koeffitsientli n-darajali tenglamaning ildizi bo’la oladimi?
1-Ta’rif. Agar a son koeffitsientlari ratsional sonlardan iborat ko’phadning yoki algebraik tenglamaning ildizi bo;la olsa, u holda a soni algebraik son aks holda transident son deyiladi.
Misollar. 1. Barcha ratsional sonlar algebraik sonlar bo’ladi. Haqiqattan, (n ) ko`rinishdagi ratsional son mx-n=0 tenglamaning ildizi bo’ladi.
2. Ratsional sonlarning ixtiyoriy k-darajali ildizi ham algebraik sondir, chunki bu sonlar m -n=0 tenglama ildizi bo’ladi.
3. 2-3i -4x+13=0 algebraik tenglamaning ildizi. Demak 2-3i algebraik son.
1-Ta’rif. Agar a son koeffitsientlari P maydonga tegishli biror algebraik tenglamaning ildizi bo’lsa, u holda a son P maydonga nisbatan algebraik son deyiladi.
Teorema. Ildizi a dan iborat bo’lgan keltirilmaydigan ko’phad nolinchi darajali ko’phad aniqligida yagonadir.
Issboti. Faraz qilaylik ildizi a dan iborat bo’gan ikkita f(x) va g(x) ko’phadlar mavjud va ularning har biri keltirilmaydigan ko’phadlar bo’lsin.
Bunday holda bu ko’phadlarning eng katta umumiy bo’luvchisi 1 dan farqli. Ikkinchidan, ular P maydoni ustida keltirilmaydigan bo’lgani tufayli bu ko’phadlar bir biridan nolinchi darajali ko’phad bilangina farqlanadi.