11-Mavzu. Invariant qism fazolar. Xos son va xos vektorlar

6–misol. (5) uchburchakli matritsaning xos qiymatlariga to‘g‘ri keladigan xos vektorlar topilsin.
Nihoyat ko‘phadning bitta muhim xossasini ko‘rsatib o‘tamiz. O‘tganimizga muvofiq shunday P(t) ko‘phad mavjudki, agar undagi t ning o‘rniga А matritsa qo‘yilsa, u holda bu ko‘phad nolga aylanadi. Biz hozir bunday ko‘phad – xarakteristik ko‘phad ekanini ko‘rsatamiz. Buning uchun dastlab ushbu lemmani isbot qilamiz.
1-lemma. Ushbu

ko‘phad va А matritsa
(6)
munosabat bilan bog‘langan bo‘lsin, bunda С() – koeffitsiyentlari matritsalardan iborat bo‘lgan  ning ko‘phadi, ya’ni
-matritsalar.
U holda .
Bu lemma Bezu teoremasini koeffitsiyentlari matritsalardan iborat bo‘lgan ko‘phad uchun umumlashtirish ekanligini qayd qilib o‘tamiz.
Isbot. Biz quyidagiga egamiz:

. (7)
(6) tenglikning ikkala tomonida bir xil darajali  ning koeffitsiyentlarini o‘zaro taqqoslab, biz quyidagi ketma-ket tengliklarni hosil qilamiz:


(8)
......................................


Endi birinchi tenglikni chapdan Е ga, ikkinchini А ga, uchinchini ga, ..., oxirgini ga ko‘paytirib, ularning hammasini qo‘shamiz. Natijada biz o‘ngda

ni, chapda esa 0 ni hosil qilamiz. Shunday qilib, va lemma isbot bo‘ldi.
3-teorema. Agar ko‘phad А matritsaning xarakteristik ko‘phadi bo‘lsa, u holda .
Isbot. matritsaga teskari matritsani ko‘rib chiqaylik. Bu holda
.
Ma’lumki, teskari matritsa ushbu ko‘rinishda yozilishi mumkin:
,
bunda С() matritsa matritsaning - tartibli minorlaridan tuzilgan matritsa, Р() esa, matritsaning determinanti, ya’ni А matritsaning xarakteristik ko‘phadi. Bundan
.
Ammo С() matritsaning elementlari matritsaning minorlari ya’ni  ga nisbatan darajasi dan yuqori bo‘lmagan ko‘phadlar bo‘lgani uchun, isbot etilgan lemmaga muvofiq,

va teorema isbot qilindi.
Agar А matritsa xarakteristik ko‘phadining karrali ildizlari bo‘masa, u holda darajasi n dan kichik bo‘lgan va  ni А matritsa bilan almashtirganda nolga aylanadigan ko‘phad mavjud emas ekanligiga e’tiborni jalb etamiz. Bunga quyidagi 7-misol yordam beradi.
7–misol. A matritsa

ko‘rinishdagi diagonal matritsa bo‘lsin, bunda hamma _i lar turli sonlardir. Darajasi mumkin qadar kichik bo‘lgan shunday P(t) ko‘phad topilsinki, u ko‘phad uchun bo‘lsin.