11-Занятия. Евклидовы пространства. Существование ортогонального базиса. Процесс ортогонолизации базиса. Ортонормальные базисы

11.2. Примеры решения задач

Пример 11.1. Пусть

Является ли функция

скалярным произведением в ? Если нет, то укажите, какие из свойств скалярного произведения нарушаются.
Очевидно, . Значит, первое свойство скалярного произведения выполняется. Положим

Значит, второе свойство скалярного произведения выполняется. Так как для любого

то третье свойство скалярного произведения выполняется. Положим . Тогда

Значит, четвертое свойство скалярного произведения не выполняется.
Пример 11.2. Векторы образуют ортогональный базис евклидова пространства и

Найдите угол между векторами

Так как векторы образуют ортогональный базис , то . Поэтому

Теперь

и угол .


Пример 11.3. Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, по заданному базису

постройте в ортонормированный базис.
Построим сначала ортогональный базис пространства . Положим . Ввиду и имеем , где

Тогда

Снова ввиду и имеем , где

Тогда . Пронормируем векторы . Для этого найдем их длины:

Теперь векторы

образуют ортонормированный базис пространства . 区
Индивидуальные задания

1. 
   Пусть и - векторы действительного линейного пространства . Является ли функция скалярным произведением? Если нет, то укажите какие из аксиом скапярного произведения нарушаются.
   

1.1. ,

1.2. ,

1.3. ,

2. 
   В евклидовом пространстве найдите скалярное произведение векторов и угол между ними.
   

.
.
.

2. 
   Применяя процесс ортогонализации Грамма-Шмидта, по заданному базису пространства постройте ортонормированныӥ базис. Сделайте проверку.
   

.
.
.