12-mavzu. Issiqlik o‘tkazuvchanlik operatorining fundamental yechimi va umumlashgan Koshi masalasi

12-mavzu. Issiqlik o‘tkazuvchanlik operatorining fundamental yechimi va umumlashgan Koshi masalasi

h
^E  a²E   (x,t) ^{, x  Rn ,}   _
^{ 2} (1)

t
tenglamani yechishda Furye almashtirishidan foydalanamiz.
(1) tenglikka x bo’yicha F_x Furye almashtirishini qo’llab:
^{i1 x}i

F ^{E }  a²F _E_  F _ (x,t)_
x _{ t } x x
quyidagi formulalardan foydalanamiz:
F_x  (x,t)  F_x  (x)  (t)  F ( )  (t)   (t) ,

_{F }E _{ }
^ F _E_^{, F H    2 F H .}

^x _{ t} _
t x ^{x x}

Natijada
H(,t)  F_{x }E_(,t)
umumlashgan funksiya uchun

^{H( ,t)}  a²  ² H ( ,t)   (t)
t
tenglamaga ega bo’lamiz. Ushbu tenglamaning yechimi
H ( ,t)   (t)e^{a2  2 t} . (2)


funksiyadan iborat bo’ladi. E(x,t) funksiyani aniqlashda

_Rn
_F 1 _e^{a2  2 t} _{ }



¹ _{F e}a²  ² t _{ } ¹




_e  ² t i ( ,t )_{d }

_ _
(2 )^{n  } (2 )^{n }

1
n n ^{x2 x 2}

_ 1
(2 )ⁿ
_e
(a
_j t )² i _j x _{j d }

(2 )^{n }
_e^ 4a²t _{
1 e}
4a²t _.

(bu yerda
j1 <sub>R


F e</sub> ² x² _{ } ^


_{ } 2
_e 4 ²
j1
formuladan foydalanildi) ekanligini e’tiborga

  _
olib, (2) formulaga Furyening teskari almashtirishini qo’llaymiz:

E(x,t)  F ^1_H ( ,t)_  ^{ (t)}
_ea²  ² t i ( ,t )_{d }^{ (t)} _e^ _4a²_{t .}

_Rn
(2 )^{n }
(2a  t )ⁿ

Shunday qilib, issiqlik o’tkazuvchanlik operatorining fundamental yechimi
E(x,t) ^{ (t)} e^{ 4a2t}
(3)

formula bilan ifodalanadi. Endi

(2a


^ ^t 
 t )ⁿ




^E  ^x,t  ^
_e 4a²t

funksiya uchun
_2a  t _ⁿ

tenglikni isbot qilamiz.

^E  a²E   _ x,t _
t

(4)

E _ x,t _
funksiya
R^{n1 fazoda lokal integrallanuvchi funksiya bo’lib, t>0 uchun}

E _ x,t _=0;
t  0 uchun E _ x,t _  0 va t>0 uchun
_n 



ⁿ  

i
^E  ^x,t ^{dx 1}
e^{ 4a2t} dx  _ ¹
e^{ 2} d  1
(5)

Rⁿ _2a  t _ Rⁿ


i1 _

tenglik kelib chiqadi. Agar t>0 bo’lsa, u holda uchun
^E  ^x,t ^C
bo’ladi. Shuning

E ^
n ^ E x
²E
^ x² 1 ^

 _ 
_ E,
 ⁱ E,

_{ }i _
 E,

t _ 4a²t ²
E
2t _

x<sub>i


x</sub> 2
2a²t


_n  

x²



i
_x 2
_ 4a⁴t²


_n 
2a²t _

 a²E  <sub>

</sub> E  _{ 2 2
} E  0
(6)

t _ 4a t
2t _{ } 4a t
2t _

tengliklar o’rinli bo’ladi.

 _ x,t _ D_R^n1_
bo’lsin. U holda (6) tenglikdan foydalanib

_ E
  ^  ^
_  _

_  a²E, _  _ E,

^{ a2} _ ^{ }_ ^E  ^x,t _

• 
  a² _dxdt 
  

_ t

_{ } t
_ 
 _{0 R}ⁿ

_ t _

^{  lim} _ ^E  ^x,t _

• 
  a² _dxdt 
  

 0
^ Rⁿ

_ t

^ _ E _ ^

(7)

^{ lim} _{ } ^E  ^x, ^  ^x, ^{dx } _{   t}

• 
  a E _dxdt _ 
  

 0 _{Rn
 R}n   _

 lim
 0

 lim

 0
_ E _ x, _ _ x,0_dx  lim

 0
_Rn
_ E _ x, _ _ x,0_dx
_Rn
_ E _ x, _ _ _ x, _   _ x,0__ dx 
_Rn

ekanligini hosil qilamiz. Shuningdek (5) munosabatdan foydalansak, u holda

_ ^E  ^x,  ^_^  ^x,  ^{ }  ^x,0^_ ^dx
_Rn

tengsizlik o’rinli bo’ladi.

^{ K} _ ^E  ^x, ^{dx  K}
_Rn

Endi t  0 da
D'_Rⁿ _
fazoda

n
^E  ^x,t ^{dx  1 e 4a2t  }  ^x 
(8)

_4 a²t _²
yaqinlashuvchi ekanligini isbot qilamiz.
^{Haqiqatdan ham, ixtiyoriy}  _ x_ D_Rⁿ _

bo’lsin. U holda

_ E _ x,t _ _ _ x_   _0__ dx 


_x 2



n
^K e^{ 4a2t} x dx 

_Rn


_ K _n
 <sup>r 2

n</sup> 
e^4a2t rⁿdr 
_4 a²t _^{2 Rn}


n
_e^u2 uⁿdu C

_4 a²t _^{2 0}
_ 2 ⁰

hosil bo’ladi. Bu yerda (5) munosabatni e’tiborga olsak, u holda t  0 da
_E _ x,t _, _  _ E _ x,t _ _ x_dx   _0_{ } E _ x,t _dx 
_Rn _Rn
 _ E _ x,t _ _ _ x_   _0__ dx   _0_   _ x_
Rn

(8) limitik munosabatga ega bo’lamiz.
Bu esa (6) va (7) munosabatlardan (8) formula kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlash kerakki, (8) limitik munosabat funksiya chegaralangan va
t=0 nuqtada uzluksiz bo’lganda ham o’rinli bo’ladi.