12-mavzu. Issiqlik o‘tkazuvchanlik operatorining fundamental yechimi va umumlashgan Koshi masalasi

Issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun umumlashgan Koshi masalasi

To’lqin tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasini yechimda foydalanilgan usul bu yerda issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun
^{u  a2u  f}  ^{x, t}  ^{, (9)}
t
^{u |}_t0 ^{ u}₀  ^x ^{, (10)}

Koshi masalasining yechimini topishga qo‘llaniladi. Bunda
^f  ^{x, t}  ^{ C(R [0, )}

0
va u _ x_C _Rⁿ _
deb hisoblaymiz.

Faraz qilaylik (9), (10) masalaning klassik yechimi mavjud bo‘lsin. Bu

u _ x,t _C² _Rⁿ _0, _ C _Rⁿ [0, )_bo‘lib, u(x; t) funksiya (9) tenglamani

20. 
    > 0 da qanoatlantirishini va bildiradi.
    

t  0
da (10) boshlang‘ich shart bajarilishini

u va f funksiyalarni t < 0 ,
x  Rⁿ
sohada nolga teng deb davom ettiramiz.

Ravshanki, davom ettirilgan u va f funksiyalar
_Rn1 _da

^{u  a2u  f}  ^x,t  ^{ u}
 ^x^ ^t 
(11)

t ⁰
issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini qanoatlantiradi. (9), (10) Koshi masalasining klassik yechimlari (11) tenglamaning t < 0 da nolga aylanuvchi yechimlari ichida bo‘ladi.
Xuddi oldingi paragrafdagi kabi, quyidagi issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun umumlashgan Koshi masalasining ta‘rifini keltiramiz.
T a ’ r i f. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun umumlashgan Koshi masalasi deb, ushbu

^{   a2  u  f}  ^{x, t}  ^{ u}

 ^x^ ^t 

 _t 0
 

tenglikni umumlashgan funksiyalar ma’nosida qanoatlantiruvchi u(x;t) funksiyani topish masalasiga aytiladi.
Ushbu paragrafdagi teoremalardan quyidagi natija kelib chiqadi:

N a t i j a.

F(x; t) = f(x; t) + u₀ (x)  (t), f M
va u0-Rn da chegaralangan funksiya bo‘lsin. U holda issiqlik o‘tkauvchanlik tenglamasi uchun umumlashgan Koshi masalasining yagona yechimi mavjud, M sinfga tegishli va

^ ^t 
|x |<sup>2


t f</sup> ^{ ,} 
|x |²

^u  ^{x, t}  ^
n  ^u0
^ ^e
4a2t d  _{ 
e} 4a² (t  ) _{d d}

n
0 R ^_2a
^ ^{t }  ^

 
formula bilan ifodalanadi.
Bu yechim f va u0 funksiyalardan uzluksiz bog‘liq. Agar f(x; t) funksiya

qo‘shimcha ravishda
f C²(Rⁿ  [0;+))
bo‘lib, ikkinchi tartibli barcha

0
hosilalari bilan M sinfga tegishli va klassik yechimdir.

20. 
    C(Rⁿ ) bo‘lsa, u holda u(x; t)
    

Quyida muhim hisoblangan yana bir ta’rifni keltirib o‘tamiz.
T a ’ r i f. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun Koshi masalasining Grin funksiyasi (x ga nisbatan umumlashgan funksiya, t esa parametr) deb ushbu

^{ }  a²^ E

 ^{x, t}  ^{ 0 , E |}

^{ }  ^x

 _t  n
n t 0

 

tengliklarni qanoatlantiruvchi
^E_n  ^{x, t} 
funksiyaga aytiladi.

E s l a t m a. Yuqorida olingan fundamental
^E_n  ^{x, t} 
yechimdan

ekanligi kelib chiqadi.

^E_n  ^x,t  ^
|x|²

1
_e 4a²t