12-mavzu. O’z-o’ziga qo’shma almashtirishlar

12-mavzu. O’z-o’ziga qo’shma almashtirishlar
Chiziqli almashtirishni uning qo‘shmasiga o‘tkazuvchi operatsiyasi, ma’lum darajada berilgan kompleks sonni uning qo‘shmasiga o‘tkazuvchi operatsiyasiga o‘xshashdir.
Bu o‘xshashlik tasodifiy bo‘lmasdan, kompleks sonlar maydonida birinchi tartibli matritsalar uchun, ya’ni kompleks sonlar uchun operatsiyasi berilgan sonni qo‘shma kompleks son bilan almashtirishning xuddi o‘zidan iborat.
Barcha kompleks sonlar orasida haqiqiy sonlar xossa bilan xarakterlangani kabi, chiziqli almashtirishlar uchun ham shunga o‘xshash tushunchani aniqlash mumkin.
12.1-ta’rif. Agar chiziqli almashtirish uchun shart bajarilsa, u holda o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish deyiladi.
12.2-tasdiq. chiziqli almashtirish o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishi uchun, bichiziqli forma uchun bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Haqiqatan, ham
.
Ma’lumki ixtiyoriy kompleks sonni ko‘rinishida tasvirlash mumkin. Shunga o‘xshab, ixtiyoriy chiziqli almashtirishni o‘z-o‘ziga qo‘shma va almashtirishlar orqali

ko‘rinishida tasvirlash mumkin.
Buning uchun

deb olib, kabi belgilasak, va almashtirishlar o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘ladi. Haqiqatan ham,

va

Shunday qilib, haqiqiy sonlar maydoni kompleks sonlar orasida qanday rol o‘ynaydigan bo‘lsa, o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlar ham barcha chiziqli almashtirishlar orasida xuddi shunday rol o‘ynashini ko‘rsatdik.
Ammo, kompleks sonlar maydonidagi xossalarga o‘xshash hamma xossalar xam o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishlar uchun o‘rinli bo‘lavermaydi. Masalan, ikkita o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishlarning ko‘paytmasi xar doim ham o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish emas. Quyidagi teoremada bu savolga to‘liq javob beramiz.
12.3-teorema. va o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishlar bo‘lsin. almashtirish ham o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishi uchun tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isbot. va chiziqli almashtirishlar o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligidan

_Demak, tenglik faqat bo‘lgan holdagina bajariladi. 
Endi -o‘lchamli kompleks Yevklid fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishlarning xos son va xos vektorlarini o‘rganamiz.