12-mavzu. O’z-o’ziga qo’shma almashtirishlar

12.4-lemma. O‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirishning xos qiymatlari haqiqiy sonlardir.
Isbot. Aytaylik, vektor o‘z-o‘ziga qo‘shma almashti-rishning xos vektori va soni xos qiymati bo‘lsin, ya’ni
bo‘lganligi uchun,

ya’ni,

Bundan esa tenglik hosil bo‘ladi. bo‘lganligi uchun, 
12.5-lemma. Aytaylik, vektor o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishning xos vektori bo‘lsin. to‘plam almashtirishga nisbatan o‘lchamli invariant qism fazo bo‘ladi.
Isbot. Ma’lumki, ga ortogonal bo‘lgan vektorlardan tashkil topgan to‘plam o‘lchamli qism fazo tashkil qiladi. Endi qism fazoni ga nisbatan invariant ekanligini ko‘rsatamiz.
Aytaylik, bo‘lsin, ya’ni Berilgan vektor xos vektor bo‘lganligi uchun Bularni hisobga olib, chiziqli almashtirishning o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligidan foydalansak,

ekanligi kelib chiqadi. Demak, ya’ni 
12.6-teorema. o‘lchamli Yevklid fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish ta juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarga ega.
Isbot. Bizga 29.3-teoremadan ma’lumki, ixtiyoriy chiziqli almashtirish o‘lchamli Yevklid fazosida kamida bitta xos vektorga ega. Aytaylik, vektor almashtirishning xos vektori bo‘lsin. 12.5-lemmaga asosan, to‘plam o‘lchamli invariant qism fazoni tashkil qiladi. Endi almashtirishni faqat fazoda qaraymiz. Yuqoridagi mulohaza orqali fazoda xos vektor mavjud. dagi ga ortogonal vektorlar to‘plamini orgali belgilasak, bu to‘plam o‘lchamli invariant qism fazoni tashkil qiladi. Bu jarayonni davom ettirish natijasida

invariant qism fazolarni hosil qilamiz.
Bu invariant qism fazolarning xos vektorlari juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan ta xos vektorlarni beradi. 
Demak, o‘lchamli Yevklid fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish ta juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarga ega. Bundan tashqari, 12.1-lemmaga asosan, ularga mos keluvchi xos sonlar haqiqiydir. Xos vektor bilan noldan farqli xar qanday sonning ko‘paytmasi yana xos vektor bo‘lganligi uchun, vektorlarning uzunliklarini 1 ga teng qilib tanlab olish mumkin.