13-amaliy mashg‘ulot: Operatorlarning spektri va rezolventasiga oid masalalar

13-amaliy mashg‘ulot:
Operatorlarning spektri va rezolventasiga oid masalalar.


- normalangan fazo va unda operator berilgan bo‘lsin. Chiziqli operator spektriga oid bir necha misollarni yechimlari bilan keltiramiz.

1. 
   orqali da aniqlangan uzluksiz (kompleks qiymatli) funksiyalardan iborat chiziqli fazo belgilangan. Bu fazoda
   

,
formula vositasida aniqlangan operatorning xos qiymatlari va xos vektorlarini toping.
Yechish. Ta’rifga ko‘ra, nol bo‘lmagan vektor va biror soni uchun
(1)
tenglik bajarilsa, vektor operatorning xos vektori va soni unga mos keluvchi xos qiymat deyiladi. Qaralayotgan operator uchun (1) tenglik quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:
. (2)
Bu yerda . Faraz qilaylik, bo‘lsin. U holda bo‘lgani uchun
(3)
tengsizlik bajarildi. (2) tenglikda (3) ni e’tiborga olsak,

tenglikni olamiz. (3) tenglikka funksiyaning bu ifodasini qo‘yib
yoki
tenglikka kelamiz. Bunda bo‘lgani uchun son operatorning xos qiymati va unga mos xos vektor ekanligi kelib chiqadi. Yana shuni ta’kidlash kerakki, agar
(4)
shartini qanoatlantiruvchi nolmas funksiya mavjud bo‘lsa, u holda soni uchun ham (1) tenglik bajariladi. Albatta (4) shartni qanoatlantiruvchi nolmas funksiya mavjud. Demak, operator ikkita va xos qiymatlarga ega. (4) shartni qanoatlantiruvchi funksiyalar xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar bo‘ladi.

2. 
   fazoni o‘zini-o‘ziga aks ettiruvchi va
   

(5)
formula bilan aniqlangan operatorni qaraymiz. Uning spektri va rezolventasini toping.
Yechish. fazoda (5) tenglik bilan aniqlanuvchi operatorning spektri topilgan. Bu yerda biz operator spektrini topishning yangi variantini taklif qilamiz.
Dastlab operatorni va unga teskari operator bo‘lgan rezolventani topamiz. Ixtiyoriy uchun

bo‘lgani uchun tenglik
(6)
tenglikka teng kuchli. Istalgan uchun (6) tenglama faqat aynan nolga teng uzluksiz yechimga ega. Shunday ekan, operatorning xos qiymati yo‘q. U holda ixtiyoriy uchun operator teskarilanuvchan. Ammo, bo‘lganda

formula bilan berilgan operator aniqlangan elementlar to‘plami fazoning qismi bo‘lib, unga teng emas. Masalan, desak, , ammo . Bundan tashqari, uchun chegaralanmagan operator. Buni ko‘rsatamiz.
Agar yetarlicha katta bo‘lsa, u holda bo‘ladi va

funksiyalar ketma-ketligi ga qarashli bo‘ladi (1-chizma). Bu yerda . Qurilishiga ko‘ra . Endi quyidagi normani hisoblaymiz.

1-chizma.

.
Shunday qilib, bo‘lganda chegaralanmagan operator ekan. Demak, . Endi holni qarasak, bu holda ixtiyoriy uchun uzluksiz funksiya bo‘lgani uchun operator fazoning barcha elementlarida aniqlangan va

tengsizlik o‘rinli. Shunday qilib, ixtiyoriy son operator uchun regulyar nuqta bo‘ladi. Spektr yopiq to‘plam bo‘lgani uchun berilgan operatorning spektri kesmadan iborat. to‘plam esa operatorning rezolvent to‘plami bo‘ladi. operatorning nuqtadagi rezolventasi
,
formula vositasida aniqlanadi.

3. 
   kompleks Hilbert fazosida quyidagi tenglik bilan aniqlangan
   

operatorning spektri va rezolventasini toping.