Bir o‘zgaruvchili funksiyalarning differensial hisobi

Bir o‘zgaruvchili funksiyalarning differensial hisobi

• ToʻlanovXurshidbek

Bir va ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning differensial hisobi
funksiyaning M0 nuqtadagi gradienti deb, koordinata-lari M0 nuqtadagi funksiyaning mos xususiy hosilalar qiymatlariga teng bo`lgan n o`lchovli vektorga aytiladi va ko`rinishda yoziladi:
1-misol. funksiyaning M0(1;-1) nuqtadagi gradientini toping.
Yechish. , ,
Demak, grad =(-18, -1) ga teng bo`ladi.
Gradientning asosiy hossasi:
funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo`lib, - n o`lchovli birorta nolmas vektor bo`lsin. nuqtani qaraymiz. U holda, agar:
1) ushbu skalyar ko`paytma bo`lsa, u holda shunday T1 > 0 son mavjud bo`ladiki, barcha t, 0 < t < T1 lar uchun < tengsizlik bajariladi;
2) skalyar ko`paytma bo`lsa, u holda shunday T2 > 0 soni mavjud bo`ladiki, barcha t, 0 < t < T2 lar uchun > tengsizlik bajariladi.
Berilgan funksiyaning nuqtada erishadigan qiymatidan katta bo`ladigan nuqtani topish uchun quyidagicha ish tutamiz:1) ko`chish yo`nalishini tanlaymiz, ya`ni shunday vektor topamizki, natijada bo`lsin;
2) nuqtani qaraymiz va t > 0 parametrni shunday tanlaymizki, > bo`lsin.
2-misol. funksiyaning M0(-1;1) nuqtadagi qiymatidan katta bo`ladigan nuqtani toping.
Yechish. Funktsiyaning gradientini topamiz:
. M0 nuqtadagi qiymati
bo`ladi. Agar  = (1,-1) bo`lsa, u holda bo`ladi. Mt(-1 + t; 1- t) nuqtani qaraymiz. U holda = - 8t2+32t-22 ga teng bo`ladi va t = 2 da ga teng. Demak, t = 2 da funksiya eng katta qiymatga erishadi. Agar t = 2 bo`lsa, Mt(1,-1) bo`ladi va bu nuqtada = 10 ga teng. M0 nuqtada esa = - 22 ga teng edi.Bir necha o`zgaruvchi funksiyaning ekstremumini topish gradientlar usulida gradientning asosiy xossasidan foydalaniladi.
2. Yuqori tartibli xususiy hosilalar
Faraz qilaylik, M0 nuqta va uning atrofida funksiya xususiy hosilaga ega bo`lsin.
Birinchi tartibli xususiy hosilalardan xi o`zgaruvchilar bo`yicha M0 nuqtada olingan xususiy hosilalar ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deb aytiladi va quyidagicha belgilanadi: . Turli o`z-garuvchilar bo`yicha olingan xususiy hosilalarga aralash xususiy hosilalar deyiladi. Xuddi shuningdek, ikkinchi tartibli xususiy ho-silalardan olingan xususiy hosilalar uchinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va h.k.
3-misol. funksiyaning barcha ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini toping.
Yechish.
a) birinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:
;
b) ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:
3. Funktsiyaning lokal ekstremumlari. Statsionar nuqta. Ekstre-mumning zaruriy sharti.
funksiya M0 nuqta r atrofi Sr(M0) da aniqlangan bo`lsin.
Agar M0 nuqtaning Sr(M0) atrofiga tegishli barcha lar (M  M0) uchun < ( > ) munosabatlar bajarilsa, M0 nuqta lokal minimum (maksimum) nuqta deyiladi.
Lokal maksimum va minimum nuqtalarga funksiyaning lokal ekstremum nuqtalari deb ataladi.
Agar nuqtada funksiyaning gradienti nol vektor bo`lsa, ya`ni
u holda bu nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi.
4-misol. funksiyaning statsionar nuqtasini toping.
Yechish: Ikki o`zgaruvchili funksiyaning ixtiyoriy gradienti nuqtada
ga teng.
bo`lishi uchun bajarilishi kerak. Sistema yechimi , demak M0(-1;4) statsionar nuqta.
Funktsiya ekstremumining zaruriy sharti
Agar differensiallanuvchi funksiya M0 nuqtada ekstre-mumga ega bo`lsa, u holda uning shu nuqtadagi xususiy hosilalari nolga teng bo`lish zarur:
, .
Ikki o`zgaruvchili funksiya ekstremumining yetarli sharti
Ikki o`zgaruvchili funksiya uchun quyidagi belgilashlar kiritaylik:
va bo`lsin.
Add Title
Add Title
U holda:
1) agar B2-AC<0 bo`lsa, M0 statsionar nuqta lokal ekstremum nuqtasi bo`lib,
a) A < 0 bo`lsa, maksimum nuqtasi;
b) A > 0 bo`lsa, minimum nuqtasi.
2) agar B2-AC > 0 bo`lsa, u holda M0 statsionar nuqta ekstremum nuqtasi bo`lmaydi;
3) agar B2-AC = 0 bo`lsa, u holda bu nuqta ekstremum nuqtasi bo`lishi ham, bo`lmasligi ham mumkin. Masala yechimi qo`shimcha tekshirishni talab etadi.
Thank You