13-ma’ruza Reja 10. To‘g‘ri to‘rtburchak to‘plam bo‘yicha ikki karrali integ­rallarni hisoblash

13-mavzu. Karrali integrallarni hisoblash.

13-ma’ruza

Reja
1⁰. To‘g‘ri to‘rtburchak to‘plam bo‘yicha ikki karrali integ­rallarni hisoblash.
2⁰. Egri chiziqli trapetsiya bo‘yicha ikki karrali integrallarni hisoblash.


1⁰. To‘g‘ri to‘rtburchak to‘plam bo‘yicha ikki karrali integ­rallarni hisoblash.
funksiya tekislikdagi to‘plamda berilgan bo‘lsin. Bu funk­siya­ning bo‘yicha ikki karrali integralini hisoblash masalasini qaraymiz.
1-teorema. funksiya quyidagi shartlarni bajar-sin:
1) funksiya da integrallanuvchi,
2) Har bir tayin da

integral mavjud.
U holda funksiya da integrallanuvchi, ya’ni

mavjud va

bo‘ladi.
◄ segmentning
,
segmentning

nuqtalar yordamida uchun ushbu
,

bo‘laklashni hosil qilamiz. Uning diametri
,

bo‘ladi.
Aytaylik,
,
,

bo‘lsin.
Ravshanki, uchun

bo‘lib,

ya’ni,

bo‘ladi.
Keyingi tengsizlikni ning qiymatlari uchun yozish, so‘ng ularni hadlab qo‘shish natijasida
(2)
hosil bo‘ladi.
Ushbu

integral ning funksiyasi

bo‘lib, bu funksiya da, jumladan da chegaralangan bo‘ladi. Agar
,

deyilsa, (2) munosabatga ko‘ra

bo‘lib, undan

bo‘lishi kelib chiqadi. Bu tengsizlikni ga ko‘paytirib, so‘ng hosil bo‘l­gan tengsizlikni ning qiymat-larida yozib, ularni had­lab qo‘shib topamiz:
.
Modomiki funksiyaning da integrallanuvchi ekan, unda da da

bo‘ladi. Bu esa

funskiyaning da integrallanuvchi ekanini bildiradi.
Demak,

integral mavjud.
(2) tengsizlikni oraliq bo‘yicha hadlab integral-lab topamiz:


ya’ni,
(3)
munosabatga kelamiz.
Ravshanki,
, (4)
va
,
Unda (3) va (4) munosabatlardan bo‘­li­shi kelib chiqadi. ►
2-teorema. funksiya quyidagi shartlarni bajar-sin:
1) funksiya da integrallanuvchi,
2) har bir tayin da

integral mavjud.
U holda funksiya da integrallanuvchi, ya’ni

mavjud va

bo‘ladi.
◄ Bu teoremaning isboti yuqoridagi teoremaning isboti kabi­dir. ►