13-ma’ruza Reja 10. To‘g‘ri to‘rtburchak to‘plam bo‘yicha ikki karrali integ­rallarni hisoblash

1-natija. quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) funksiya da integrallanuvchi,
2) Har bir tayin da

integral mavjud.
3) Har bir tayin da

integral mavjud.
U holda
,
integrallar mavjud va

bo‘ladi.
2-natija. Agar funksiya da uzluksiz bo‘lsa u holda
,
integrallar mavjud va ular bir–biriga teng bo‘ladi.
Demak, integrallash to‘plami

bo‘lgan holda funksiyaning bo‘yicha integrali avval birinchi argu­menti (ikkinchi argumentini o‘zgarmas deb hisoblab), so‘ng ikkinchi argumenti bo‘yicha integrallab topiladi.
1-misol. Ushbu

integral hisoblansin, bunda
.
◄ Integrallanayotgan funksiya 1– va 2– teo­re­ma­­larni shartlarini bajaradi. Ulardan foydalanib topamiz:
.
SHuningdek,

bo‘ladi. ►


2⁰. Egri chiziqli trapetsiya bo‘yicha ikki karrali integrallarni hisoblash.
tekislikdagi

to‘plamda berilgan bo‘lsin, bunda funksiyalar da uzluksiz va da .
3-teorema. funksiya quyidagi shartlarni bajar­sin:
1) funksiya da integrallanuvchi,
2) Har bir tayin da

integral mavjud.
U holda

mavjud va

bo‘ladi.
◄ Aytaylik,

to‘g‘ri to‘rtburchak ni o‘z ichiga joylashtirsin:



34-chizma
Ushbu

funksiya uchun, ravshanki
(5)
tenglik bajariladi.
Bu funksiya har bir tayin da o‘zgaruv­chi­ning funk­siyasi sifatida qaralsa, unda teoremaning 2-sharti hamda funk­siyaning tuzilishidan

integralning mavjudligini topamiz. Unda 1-teoremaga ko‘ra
(6)
bo‘ladi.
Ayni paytda, har bir tayin da
(7)
bo‘ladi. (5), (6) va (7) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi. ►
Aytaylik, funksiya tekislikdagi

da berilgan bo‘lsin, va funksiyalar da uz­luk­siz va da
.