13 mavzu Bernulli formulasi Nazariy ma’lumotlar

---

13 mavzu 
- Bernulli formulasi 
Nazariy ma’lumotlar 
Tangani bir necha marta tashlaymiz. To‘rtinchi tashlashda gerb tomonining 
tushishi birinchi, ikkinchi, uchinchi tashlardagi natijalarga bog‘liq emas deb 
aytaylik. Biz bog‘liq bo‘lmagan tajribalar bilan duch kelamiz. Endi quyidagi 
masalani yechamiz.
Biror bir martalik tajriba o‘tkazilganda A hodisaning ro‘y berish ehtimoli
pga, ro‘y bermaslik ehtimoli esa q=1-p ga teng bo‘lsin. n ta takrorlanuvchi 
tajribalarda A hodisaning m marta ro‘y berish ehtimoli qanday? Bu hodisani: 
«C
n
=m» deb yozib olamiz. P(C
n
=m) ni izlaymiz. 
n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribada A hodisa m marta ro‘y berishi, n-m marta 
ro‘y bermaslik hodisasini n ta xona ko‘rinis ida tasavvur qilishimiz mumkin, 
ularning m tasi A harfi bilan, n-m- tasi A harfi bilan to‘ldirilgan. Agar
bunday hodisalar sonini N deb belgilasak, u holda formulaga ko‘ra
N=n!/m!(n-m)!=C
m
n
.
Bizni «C
n
=m» hodisa qiziqtiradi, u N ta B
1
, B
2
, B
3
, ….,B
n
hodisalar
birlashmasidan iborat. Ular teng imkoniyatli va juft-jufti bilan birgalikda
mumkin bo‘lmagan hodisalar, shuning uchun 
P(C
n
=m)=P(B
1
)+P(B
2
)+….+P(B
n
)=NP(B
1
).
Lekin B
1
- A ning m marta va A ning n-m marta olishining kesishmasiga teng.
A hodisa p ehtimol bilan ro‘y beradi, A ning ro‘y bermaslik ehtimoli q ga 
teng.
A ning k marta ro‘y berish ehtimolini Pn(k) deb belgilaymiz, u holda bu 
ehtimol B hodisaning yoki unga kiruvchi hodisalar ro‘y berishiga imkon
beruvchi elementar natijalar ehtimollari yig‘indisiga teng bo‘ladi, bunday elemen-
ar natijalar soni takrorlanuvchi o‘rin almashtirishlar soniga teng
P
n
(k, n-k)=n!/ k!(n-k)!=C
k
n
Shunday qilib, Bernulli formulasiga ega bo‘lamiz P
n
(k)=C
k
n
p
k
q
n-k
.