To‘la ehtimollik va Bayes for

3-AMALIY MASHG’ULOT

To‘la ehtimollik va Bayes formulalari

Tо‘la ehtimol formulasi: Tо‘la ehtimol formulasi ehtimollarni hisoblashda samarali xizmat qiladi. Faraz qilaylik A tasodifiy hodisa bir necha juft-jufti bilan birgalikda bо‘lmagan H₁, H₂, ..., H_n hodisalarning biri bilangina rо‘y bersin.
Tо‘la guruh tashkil etadigan birgalikda bо‘lmagan H₁, H₂, ..., H_n hodisalarning (gipotezalarning) biri rо‘y berganda rо‘y berish mumkin bо‘gan A hodisaning ehtimoli gipotezalarning har birining ehtimolini A hodisaning tegishli shartli ehtimoliga kо‘paytmalari yig‘indisiga teng.
6-masala. Ichida 2 ta shar bо‘lgan idishga bitta oq shar solinib, shundan keyin idishdan tavakkaliga bitta shar olingan. Sharlarning dastlabki tarkibi (rangi bо‘yicha) haqida mumkin bо‘lgan barcha taxminlar teng imkoniyatli bо‘lsa, u holda olingan sharning oq rangli bо‘lish ehtimolini toping.

¹ .
1. Idishda dastlab oq shar bо‘lmaganligi shartida oq shar olinishining shartli
ehtimoli R(A/N₁)=
3

¹ , R(N₂)=

¹ , R(N₃)=

3

3
Yechilishi. A orqali oq shar olinganlik hodisasini belgilaymiz. Sharning dastlabki rangi haqida quyidagi taxminlar (gipotezalar) bо‘lishi mumkin: N₁ – oq shar yо‘q, N₂ – bitta oq shar bor, N₃ – ikkita oq shar bor. Bu yerda hammasi bо‘lib uchta gipoteza mavjud va shu bilan birga ular shartga kо‘ra teng imkoniyatli va R(N₁)+R(N₂)+R(N₃)=1, chunki R(N₁)=
3

¹ .
2. Idishda dastlab bitta oq shar bо‘lganligi shartida oq shar olinishining shartli
ehtimoli R(A/N₂)=
3

² .

3. Idishda dastlab ikkita oq shar bо‘lganligi shartida oq shar olinishining shartli
ehtimoli R(A/N₃)=
3

³ .
Idishdan oq shar olinishining izlanayotgan ehtimolini tо‘liq ehtimol formulasidan foydalanib topamiz:

¹ _{     }
7-masala. 4 ta yashik bor. Birinchi yashikda 1 ta oq va 1 ta qora shar bor,
ikkinchi yashikda 2 ta oq va 3 ta qora shar, uchinchi yashikda 3 ta oq va 5 ta qora
shar, tо‘rtinchi yashikda esa 4 ta oq va 7 ta qora sharlar bor. H_i hodisa i-nchi

1

1

2

1

2

1

3

3

3

3

3
R(A)=R(N₁)R(A/N₁)+R(N₂)R(A/N₂)+R(N₃)R(A/N₃)=
3

yashikni tanlashdan iborat (i=1, 2, 3, 4). i-nchi yashikni tanlash ehtimoli


10
ⁱ ga

tengligi berilgan, ya’ni
R(N₁)=




¹ , R(N₂)=

¹ , R(N₃)=

³ , R(N₄)=

10

5

10

5
² .
Yashiklardan biri tavakkaliga tanlanadi va undan bitta shar olinadi. Bu sharning oq rangli bо‘lish ehtimolini toping.
Yechilishi. Shartga kо‘ra A hodisaning ehtimolni N₁, N₂, N₃, N₄ shartlarning har biriga nisbatan topamiz:

⁴
Oq sharning chiqish ehtimolini tо‘la ehtimol formulasiga kо‘ra topamiz:
R(A)=R(N₁)R(A/N₁)+R(N₂)R(A/N₂)+R(N₃)R(A/N₃)+R(N₄)R(A/N₄)=
=
4400

¹ , R(A/N₂)=

² , R(A/N₃)=

³ , R(A/N₄)=

5

8

11
R(A/N₁)=
2

1

1

2

3

3

2

4

1707

¹ _{       }

8-masala. Biror O punktdan chiqqan sayohatchi yо‘lning ajraladigan joyiga
kelgach, tavakkaliga mumkin bо‘lgan yо‘llardan birini tanlaydi. Yо‘llarning
sxemasi chizmada tasvirlangan. Turistning S punktga tushish ehtimoli qanday?

10

2

5

5

10

8

5

11

О
1

1


^h1 h₃


2

2

3



С


h_2
1 ²


3

Yechilishi. Rasmdan kо‘rinib turganidek, sayohatchining yо‘li oraliqlari h₁, h₂, h₃ punktlarning biridan albatta о‘tadi. Aytaylik, H_i sayohatchi о‘z harakati davomida h_i punktga tushishdan iborat hodisa bо‘lsin. Shartga kо‘ra H₁, H₂, H₃ hodisalar birgalikda emas hamda ular teng ehtimolli hodisalar, chunki yо‘l O nuqtadan tavakkaliga tanlanadi. Shuning uchun,

¹
bо‘ladi. Agar sayohatchining S punktga kelishidan iborat hodisani A orqali
belgilasak, u holda
R(A/N₁)=
3
R(H₁)=R(H₂)=R(H₃)=
3

¹ , R(A/N₂)=

¹ , R(A/N₃)=

¹

2

4



ga bо‘lamiz. Bularga asosan

2

R(A)=


1

1

1

1

1

13

3

3

3

2

3

4

36
¹ _{     }

kelib chiqadi.
9-masala. 1 ta oq va 3 ta qora shar bо‘lgan yashikdan bitta shar olinib, 3 ta
oq va 1 ta qora shar bor bо‘lgan yashikka solindi. Sо‘ngra ikkinchi yashikdan bitta shar olindi. Olingan sharning oq rangli bо‘lish ehtimoli nimaga teng?
Yechilishi. birinchi yashikdan bitta oq shar olinib ikkinchi yashikka solinishi N₁ hodisa, birinchi yashikdan bitta qora shar olinib ikkinchi yashikka silinishi N₂ hodisa deb belgilaymiz. A bilan ikkinchi yashikdan oq shar chiqish hodisasini belgilaymiz. N₁ va N₂ hodisalar birgalikda emas. Shuning uchun tо‘la ehtimol formulasini qо‘llash mumkin. N₁ va N₂ gipotezalarning ehtimollarini topamiz:

³
Ikkinchi yashikka oq shar tashlanganda unda tо‘rtta oq va 1 ta qora shar
bо‘lgani uchun R(A/N₁)=
5

¹ , R(N₂)=

4
R(N₁)=
4
<sup>4

3</sup> _{. Demak,}
Xuddi shuningdek, ikkinchi yashikka qora shar tashlanganda unda uchta oq va ikkita qora shar paydo bо‘lgani uchun R(A/N₂)=
5

4

3

3

1

9

13

R(A)=

4

5

4

5

5

20

20
¹ _{     }
10-masala. Ikkita yashik bor. Birinchi yashikda 5 ta oq 4 ta qizil shar, ikkinchisida 4 ta oq 5 ta qizil shar bor.
Tavakkaliga yashiklardan biri tanlandi va undan tavakkaliga shar chiqarib olindi. Bu sharning qizil rangli bо‘lishi (A hodisa) ehtimoli qanday?
Yechilishi. Shar birinchi yashikdan yoki ikkinchi yashikdan olinishi mumkin. Bu hodisalardan birinchisini N₁ ikkinchisini N₂ bilan belgilaymiz (bular A hodisaga nisbatan gipotezalardir). Yashiklardan har birini tanlash teng imkoniyatli bо‘lgani uchun:

¹
bо‘ladi. Endi A hodisaning ehtimolin N₁ va N₂ shartlarning har biriga nisbatan
topamiz:
R(A/N₁)=
9
R(N₁)=R(N₂)=
2

⁴ , R(A/N₂)=

⁵




9
Tо‘la ehtimol formulasiga kо‘ra:

¹     

4

1

5

9

1

2

9

2

9

18

2
R(A)=

3

BAYES FORMULASI
11-masala. Ikki mergan nishonga qarata bittadan о‘q uzdi. Birinchi mergan
uchun nishonga urish ehtimoli 0,6, ikkinchi mergan uchun esa 0,3 ga teng. Otishlardan sо‘ng nishonga bitta о‘q tekkan. Bu о‘q birinchi merganga tegishli bо‘lish ehtimoli qanday?
Yechilishi. quyidagi hodisalarni qaraymiz: Birinchi merganning nishonga urishi N₁ hodisa, ikkinchi merganning nishonga urishi N₂ hodisa, nishonga о‘q tegishi A hodisa.
Bayes formulasiga kо‘ra izlanayotgan ehtimol:

( ) ( / )
1 1 2 2