14-маъруза. Носимметрик қолипда tvd-чеклагичлар. Кўп ўлчовли реконструкция

14-маъруза. Носимметрик қолипда TVD-чеклагичлар. Кўп ўлчовли реконструкция.

2.7.5. TVD-ограничители на несимметричном шаблоне.
Выше были описаны ограничители, которые при анализе конечных разностей использовали симмет­ричный шаблон точек. Это было связано с симметрией используемой функции L(a,b) при определении ограничителей (2.7.27). Представляет интерес построение ограничи­телей на несимметричном шаблоне точек. Несимметричный ограничитель позволяет принимать во внимание направление движения среды.
Построим указанные TVD-ограничители на основе базового свойства (2.7.26) моно­тонной реконструкции, которое записывается в виде неравенств (Семенов, ранее не пуб­ликовалось). Аналогичным образом могут быть использованы соотношения (2.7.38).
Вместо (2.7.28)-(2.7.30) рассмотрим три последовательных неравенства (2.7.26) для наклонов
,
.
. (2.7.60)
Для замыкания этой системы неравенств удобно положить и .
Получаем


Следовательно,


Отсюда

Тогда

Используя тот факт, что получаем



Для получения TVD-ограничителя модифицируем (2.7.62) следующим образом:

Рассмотрение трех последовательных неравенств (2.7.26) для наклонов TVD-ограничитель на основе трех разностей

При рассмотрении четырех последовательных неравенств (2.7.26) для наклонов слева аналогичным способом получаем следующий TVD-ограничитель на основе четырех конечных разностей:


Наконец, рассмотрение других четырех последовательных неравенств (2.7.26) для наклонов справа дает ограничитель

Ограничитель (2.7.63) и (2.7.65) удовлетворяют соотношениям

Сравнивая эти неравенства с (2.6.14), получаем условия устойчивости в виде С .
Ограничители (2.7.64) и (2.7.66) для уравнения переноса (2.7.18) удовлетворяют тому же самому условию устойчивости, см. (2.7.19).
Если рассмотреть четыре последовательных неравенства (2.7.26) для центральных наклонов , то получим четырехточечный симметричный TVD-ограничитель с тем же шаблоном точек, который использовался в ограничителе UNO (2.7.52). Для уравнения переноса (2.7.2) ограничитель принимает вид

а ограничитель для уравнения (2.7.18) принимает вид