14-маъруза. Носимметрик қолипда tvd-чеклагичлар. Кўп ўлчовли реконструкция

2.7.6. Многомерная реконструкция.
До сих пор рассматривалась кусочно-линейная реконструкция для функций одной пространственной переменной. Рассмотрим вопросы реконструкции в двумерном и трехмерном случаях.
Начнем с двумерного случая. Предположим, что сетка состоит из конечных выпуклых многоугольников и т. д. На рис. 2.6 а изображена четырехугольная ячейка с соседями , а на рис. 2.6b – треугольная ячейка с тремя соседями Пусть на дискретной сетке определена сеточная функция .
Целый нижний индекс m обозначает значения функции, вычисленной в центрах масс многоугольника . Пусть , где n= – это многоугольники, которые являются соседями . Обозначим через значения сеточных величин в серединах сторон между ячейками (рис. 2.6).
Для определения значений сеточной функции на сторонах многоугольника следует определить процедуру реконструкции. Построим внутри многоугольника кусочно-линейное распределения сеточной функции в виде
. (2.7.67)
Здесь - некоторые коэффициенты, а координаты ( ) соответствуют центру масс ячейки с номером m. Тогда

где | | - площадь ячейки . Значения сеточной функции в середине стороны с индексом mn определяется в виде

где координаты ( ) соответствует середине границы между ячейками .
Алгоритм построения должен удовлетворять следующим условиям:
● для линейной функции ;
● наклоны должны вычисляться для произвольной сетки;
● наклоны должны быть ограничены таким образом, чтобы в одномерном случаи разностная схема переходила в TVD-схему.
В частности, Barth, Jespersen (1989) предложили ограничить таким образом, чтобы были выполнены следующие минимаксные неравенства:

.
Для кусочно-линейной реконструкции экстремумы функции u(x, y) лежат в вершинах ячеек-многоугольников и достаточные условия выполнения (2.7.69) можно выписать в явном виде. Найдем величины в вершине с номером i, где i=1, … ,N, для ячейки .
Тогда

Пусть . Тогда ограниченные наклоны вида и удовлетворяют неравенствам (2.7.69).
В двумерном и трехмерном случаях существуют различные определения вариации функции, в частности, вариации Арцела, Фреше, Тонелли, Витали и др. (Витушкин, 1955; Голубов, Витушкин, 1977). Многочисленность вариаций многомерных функций следует из того факта, что в многомерном случае она характеризуется несколькими независимыми вариациями (Витушкин, 1955). В частности, вариация функции u(x, y) характеризутся так называемыми, линейной и плоской вариациями. На настоящий момент времени, по-видимому, не получены достаточные условия, обеспечивающие ограниченность всех вариаций численного решения на произвольной сетке. По этой причине все известные методы многомерной реконструкции, включая описанные ниже, не имеют строгого обоснования. Применимость этих методов в каждом конкретном случае должна быть проверена.
Заметим, что для прямоугольных сеток, все описанные выше одномерные алгоритмы линейной реконструкции, могут быть использованы вдоль каждой из координатных осей независимо.
Тилляева (1983, 1986) предложила следующий метод определения наклонов α и β в двумерном случае. Рассмотрим, для простоты, произвольную четырехугольную ячейку с четырьмя соседями (рис. 2.6а). решим следующие четыре системы линейных уравнений относительно :


где i=1, 2, 3 и 4. При i=4 положим . Пусть

Приращения при вычислении значений на границе ограничивают следующим образом:

где
Для простоты будет использовано также обозначение

В двумерных численных решениях стационарных задач газовой динамики, проведенных методом Годунова с точными формулами распада разрыва, изложенный подход позволил сохранить монотонные профили функций, а также обеспечил слабую зависимость результатов от выбора двумерного разбиения расчетной области (Тилляева, 1986). Для прямоугольных сеток изложенный подход эквивалентен независимому применению ограничителя minmod вдоль направлений x и y. Более детальный анализ выбора приращений при таком подходе проведен Родионовым (1996).
Рассмотрим некоторые модификации изложенного подхода. Заметим , что при газодинамическом моделировании достаточно проводить анализ только двух приращений (Иванов , Криков 1996 , 1999 , ) т.е.
.
Заметим, что вместо ограничения приращений можно ограничивать также наклоны:

1. 
   ;
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Вместо функции minmod могут быть использованы другие ограничители.
По аналогии с однородным случаем, рассмотрим двумерную предельную реконструкцию. В том случае наклоны постепенно уточняются применением итерационной процедуры аналогичной (2.7.35)-(2.7.37).
Предположим, что имеется алгоритм для решения следующей системы неравенств относительно и :
+ + + ,
или

k=m,n.
Наиболее точная реконструкция достигается при наибольших значениях
| | и | |, которые удовлетворяют неравенствам (2.7.72).
Попытаемся уточнить значения и . Пусть
удовлетворяют неравенству (2.7.72). Тогда для выполнены неравенства
+ + + .
Их вид совпадает с (2.7.72). Следовательно, можно повторить процедуру определения наклонов используя величины . Тем самым значения будут уточнены. Такой подход, при условии сходимости уточнений, может быть применен в других методах определения наклонов.
Заметим, что для определения наклонов функций могут быть использованы аппроксимации контурных интегралов или метод наименьших квадратов. Запишем для общего случая теорему о градиента
,(2.7.72).
Где G -это конечная область в евклидовом пространстве элемент объема, |G|- объем G, , S – поверхность ограничивающая G, = - ориентированный элемент площади, где n- внешняя нормаль, элемент площади. В частности, в двумерном случае для четырехугольной ячейки получим
[
- ],
[
[
Где G – четырехугольная область с вершинами в точках с номерами 1, 2, 3, и 4(рис.2.6).
С другой стороны, наклоны могут быть выбраны таким образом, чтобы сумма

достигала минимума. Для нахождения минимума используется метод наименьших квадратов.
При определения можно ограничить приращения следующим способом:

где
.
Для прямоугольной сетки такую реконструкцию впервые предложил vanLeer (1977b).
Двумерная реконструкция для общего случая выпуклых четырехугольных ячеек, когда значения функций заданы в их вершинах, может быть найдена в работе Borrel, Montagne (1985).