14-Mavzu: Kompleks sonlarning algebraik va trigonometrik shakllari

14-Mavzu:

Kompleks sonlarning algebraik va trigonometrik shakllari. Kompleks sonlar ustida amaliar.

Kompleks sonning trigonometrik shakli.

1. Kompleks sonning trigonometrik shakli. Kompleks sonlarga oid ko'pgina tushunchalar ayoniy bo'lishi uchun kompleks sonni biror geometrik shakl (figura, tasvir) sifatida qarash qulaydir.

Biz z = x + yi kompleks sonning geometrik shakli sifatida, XOY koordinata tekisligidagi A(x; y) nuqtani yoki boshi O(0; 0) nuqtada, oxiri esa A(x; y) nuqtada bo'lgan vektorni qabul qilamiz (17- a, b rasmlar). Bunda koor­dinata tekisligining har bir nuqtasi faqat bitta kompleks sonni tasvirlaydi va aksincha, har qanday kompleks son faqat bitta nuqtada tasvirlanadi. Haqiqiy sonlarga abssissalar o'qining nuqtalari, bi (iR} sof mavhum sonlarga esa ordinatalar o'qining nuqtalari mos keladi. Shunga ko'ra, koordinatalar tekisligi kompleks tekislik, abssissalar o'qi haqiqiy o'q, ordinatalar o'qi esa mavhum o'q deb ham ataladi.



z = x + yi kompleks sonining geometrik tasviri bo'lgan vektor uning radius-vektori deyiladi. Har qanday z = x + yi kompleks son yagona radius-vektorga ega, chunki x, y sonlari yagona A(x; y) nuqtani (vektorning oxirini) aniqlaydi. Kompleks son radius-vektorining uzunligi shu son­ning moduli deyiladi. z=x + yikompleks sonning modulini z yoki r bilan belgilaymiz. z, x, y haqiqiy sonlar quyidagi tenglik bilan bog'langan:

z=. (1)

Haqiqatan ham, ikki nuqta orasidagi masofa formulasiga ko'ra,

tenglik o'rinlidir (17- b rasm).