14-Mavzu: Kompleks sonlarning algebraik va trigonometrik shakllari
Trigonometrik shaklda (bosh trigonometrik shaklda
Download 0.65 Mb.
|
14m
- Bu sahifa navigatsiya:
- Muavr formulasi
Trigonometrik shaklda (bosh trigonometrik shaklda bo'lishi shart emas!) berilgan z=r(cosφ+isinφ) va w=R(cosφ+isinφ) kompleks sonlarni:
ko'paytirish uchun, zw=rR(cos(φ+α)+isin(φ+α)) tenglikni tuzish va φ + α ni bosh argument bilan almashttrish; bo'lish uchun , = (cos(φ-α)+isin(φ-α)) teng likni tuzish va φ – α ni bosh argument bilan almashtirish kerak. Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko'paytirish qoidasini zn = z·z···z (n ta ko'paytuvchi) ko’paytma uchun ketma-ket tatbiq etib, zn ni hisoblash qoidasini hosil qilamiz: zn =(r(cosφ + isinφ))n ni hisoblash uchun, zn =rn(cosnφ + isinnφ)n tenglikni tuzish va nφ argumentni bosh argument bilan almashtirish kerak.Agar z =cosφ+isinφ bo'lsa, darajaga ko'tarish formulasi quyidagi ko'rinishni oladi: (cosφ + isinφ)n = cosnφ + isinnφ. Bu tenglik Muavr formulasi deyiladi. Kompleks sondan ildiz chiqarish. z kompleks sonning n-darajali ildizi deb, wn= z tenglik bajariladigan har qanday w kompleks songa aytiladi (bu yerda nN). Agar z=0 bo’lsa, wn= 0 (nN) tenglik w=0 soni uchungina bajariladi. Agar zo bo’lsa, wn= z (nN) tenglik w ning n ta har xil kompleks ildizlarga ega bo’lishini isbotlaymiz. Teorema. z=r(cosφ+isinφ) 0 kompleks soni n ta har xil wk kompleks ildizlarga ega va bu ildizlar quidagi formula bilan toiladi: k=0,1,2,…,n-1 Isbot. w=R(cosα+isinα) kompleks somi z=r(cosφ+isinφ) 0 sonning n-darajali ildizi bo’lsin. U holda Rn (cosnφ + isinnφ)= r(cosφ+isinφ) tenglik o’rinli bo’ladi. Ikkita kompleks sonning modullari teng va argumentlari bir-biridan 2π k (bu yerda kZ) qo’shiluvchiga farq qilsagina, ular teng bo’adi. Shu sababli R=, (1) (2) tengliklar bajariladi. Hosil qilingan b'u tengliklarni w ning trigonometrik shakliga qo'yamiz; (3) Bu yerdan ko'rinadiki, z = r(cosα + isinα) kompleks sonining bar qanday n- darajali ildizi (3) ko'rinishda bo'ladi. Aksincha, (3) ko'rinishdagi har qanday kompleks son z=r(cosφ+isinφ) kompleks sonining n- darajali ildizi bo'ladi. Buni darajaga ko'tarish yordamida bevosita tekshirib ko'rish mumkin. Shunday qilib, (3) ko'rinishdagi sonlar va faqat shu sonlargina z=r(cosφ+isinφ) kompleks sonining n- darajali ildizi bo'ladi. Endi (3) formula z 0 sonining n ta har xil ildizini aniqlashini ko'rsatamiz. Qulaylik uchun (3) formuladagi w ning k ga bog'liq ekanligini oshkor ko'rinishda yozib olayik: (4) k =0, k=1, ..., k = n-1 bo'lganda bu formula yordamida w0, w1, ..., wn-1_ sonlari hosil qilinadi. Bu sonlar ning argumentlari bir-biridan 2π ga karrali bo'lmagan qo'shiluvchi bilan farq qiladi. Shuning uchun bu sonlar orasida tenglari mavjud bo'lmaydi, ya'ni ular n tadir. Endi ixtiyoriy sonini soniga qoldiqli bo'larniz: k = n · m + s, bu yerda mZ, s {0, 1, 2, ..., n- 1}. U holda, Bu yerdan ko'rinadiki, (4) formuladagi k ning o'rniga har qanday butun son qo'yilganda ham, w0, w1, .,., wn-1 { sonlardan birortasi hosil bo'ladi. Teorema isbot bo'ldi. Markazi koordinatalar boshida bo'lgan radiusli aylanani qaraymiz. W0, W1,..., Wn-1 nuqtalar shu aylanada yotadi va uni n ta teng yoylarga ajratadi, chunki qo'shni Wk nuqtalarning argumentlari bir-birlaridan - ga farq qiladi. Demak, bu nuqtalar aylanaga ichki chizilgan muntazam n burchakning uchlari bo'ladi (20- rasmda bu muntazam oltiburchak, chizmada n = 6 Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing: 1. z=1-i 2. z=1-i 3. z=√3+i 4. z=-1+√3i Download 0.65 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling