14-Mavzu: Kompleks sonlarning algebraik va trigonometrik shakllari

Trigonometrik shaklda (bosh trigonometrik shaklda bo'lishi shart emas!) berilgan z=r(cosφ+isinφ) va w=R(cosφ+isinφ) kompleks sonlarni:

1. 
   ko'paytirish uchun, zw=rR(cos(φ+α)+isin(φ+α)) tenglikni tuzish va φ + α ni bosh argument bilan almashttrish;
   
2. 
   bo'lish uchun , = (cos(φ-α)+isin(φ-α)) teng­ likni tuzish va φ – α ni bosh argument bilan almashtirish kerak.
   

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko'­paytirish qoidasini zⁿ = z·z···z (n ta ko'paytuvchi) ko’paytma uchun ketma-ket tatbiq etib, zⁿ ni hisoblash qoi­dasini hosil qilamiz:

zⁿ =(r(cosφ + isinφ))ⁿ ni hisoblash uchun, zⁿ =rⁿ(cosnφ + isinnφ)ⁿ tenglikni tuzish va nφ argumentni bosh argument bilan almashtirish kerak.Agar z =cosφ+isinφ bo'lsa, darajaga ko'tarish formulasi quyidagi ko'rinishni oladi: (cosφ + isinφ)ⁿ = cosnφ + isinnφ. Bu tenglik Muavr formulasi deyiladi.

Kompleks sondan ildiz chiqarish.

z kompleks sonning n-darajali ildizi deb, wⁿ= z tenglik bajariladigan har qanday w kompleks songa aytiladi (bu yerda nN). Agar z=0 bo’lsa, wⁿ= 0 (nN)

tenglik w=0 soni uchungina bajariladi.

Agar zo bo’lsa, wⁿ= z (nN) tenglik w ning n ta har xil kompleks ildizlarga ega bo’lishini isbotlaymiz.

Teorema. z=r(cosφ+isinφ) 0 kompleks soni n ta har xil w_k kompleks ildizlarga ega va bu ildizlar quidagi formula bilan toiladi:

k=0,1,2,…,n-1

Isbot. w=R(cosα+isinα) kompleks somi z=r(cosφ+isinφ) 0 sonning n-darajali ildizi bo’lsin. U holda Rⁿ (cosnφ + isinnφ)= r(cosφ+isinφ) tenglik o’rinli bo’ladi. Ikkita kompleks sonning modullari teng va argumentlari bir-biridan 2π k (bu yerda kZ) qo’shiluvchiga farq qilsagina, ular teng bo’adi. Shu sababli

R=, (1)

(2)

tengliklar bajariladi. Hosil qilingan b'u tengliklarni w ning trigonometrik shakliga qo'yamiz;

(3)

Bu yerdan ko'rinadiki, z = r(cosα + isinα) kompleks sonining bar qanday n- darajali ildizi (3) ko'rinishda bo'ladi. Aksincha, (3) ko'rinishdagi har qanday kompleks son z=r(cosφ+isinφ) kompleks sonining n- darajali il­dizi bo'ladi. Buni darajaga ko'tarish yordamida bevosita tekshirib ko'rish mumkin.

Shunday qilib, (3) ko'rinishdagi sonlar va faqat shu sonlargina z=r(cosφ+isinφ) kompleks sonining n- da­rajali ildizi bo'ladi.

Endi (3) formula z 0 sonining n ta har xil ildizini aniqlashini ko'rsatamiz. Qulaylik uchun (3) formuladagi w ning k ga bog'liq ekanligini oshkor ko'rinishda yozib olayik:

(4)

k =0, k=1, ..., k = n-1 bo'lganda bu formula yorda­mida w₀, w₁, ..., w_n-1_ sonlari hosil qilinadi. Bu sonlar ning argumentlari bir-biridan 2π ga karrali bo'lmagan qo'shiluvchi bilan farq qiladi. Shuning uchun bu sonlar orasida tenglari mavjud bo'lmaydi, ya'ni ular n tadir. Endi ixtiyoriy sonini soniga qoldiqli bo'larniz: k = n · m + s, bu yerda mZ, s {0, 1, 2, ..., n- 1}. U holda,



Bu yerdan ko'rinadiki, (4) formuladagi k ning o'rniga har qanday butun son qo'yilganda ham, w₀, w₁, .,., w_{n-1 {} sonlardan birortasi hosil bo'ladi. Teorema isbot bo'ldi.

Markazi koordinatalar boshida bo'lgan radiusli aylanani qaraymiz. W₀, W₁,..., W_n-1 nuqtalar shu aylanada yotadi va uni n ta teng yoylarga ajratadi, chunki qo'shni W_k nuqtalarning argumentlari bir-birlaridan - ga farq qiladi. Demak, bu nuqtalar aylanaga ichki chizilgan muntazam n burchakning uchlari bo'ladi (20- rasmda bu muntazam oltiburchak, chizmada n = 6₀ OW₅ = ).

Kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing:

1. z=1-i 2. z=1-i
3. z=√3+i 4. z=-1+√3i