14-Mavzu: Kompleks sonlarning algebraik va trigonometrik shakllari

2- m i s o 1. a) 1 + i; b) 3i; d) -1 + i; e) 1 – i sonlarini trigonometrik shaklda ifodalang.

Yechish.

a) |1 + i =, ,

1 +i= (cos+ isin) (18- a rasm);

1. 
   3i=3 , , 3i = 3(cos +isin) (18-b rasm);
   

Trgonometrik shaklda yozilgan kompleks sonlarni ko’poaytirish,bo’lish va darajaga ko’tarish qoidalarini keltirib chiqarish uchun asos bo’ladigan teoremalarni qaraymiz.

1-teorema.Kompleks sonlar ko’paytmasining moduli ko’paytuvchilar modullarining ko’paytmasiga tenng, ko’paytuvchilarning har qanday argumentlari yig’indisi shu kompleks sonlar ko’paytmasining biror argumenti bo’ladi.

Isbot. z=r(cosφ+isinφ) va w=R(cosα+isinα) larz,w kompleks sonlarning biror trigonometrik shakli bo’lsi. U holda, z va w sonlar ko’paytmasini ko’phadlarni ko’paytirish qoidasi yordamida topsak, zw=rR(cos(φ+·)+isin(φ+α)) hosil bo’ladi. Demak |zw|=rR=|z||w| va φ+α ning biror argumentidan iborat

2-teorema. Kompleks sonlar nisbatining moduli bo'linuvchi va bo'luvchi modullarining nisbatiga teng, bo'linuvchi va bo'luvchi har qanday argumentlarining ayirmasi bo'linmaning biror argumenti bo'ladi.

Isbot. z = =r(cosφ+isinφ) va w=R(cosα+isinα) lar z va w kompleks sonlarining biror trigonometrik shakli bolsin.

U holda



tenglik bajariladi. Bu yerdan esa ekanligi va φ-α sonning uchun argument bo'lishi

kelib chiqadi.

Endi trigonometrik shaklda berilgan sonlarni ko'paytirish, bo'lish va darajaga ko'tarish qoidalarini keltiramiz.