Chizmada shtrixlab ko‘rsatilgan

1.To‘plamlar ustida amallar. A va B to‘plamlarning ikkalasida ham

mavjud bo‘lgan x elementga shu to‘plamlarning umumiy elementi deyiladi.
2.1-ta’rif. A va B to‘plamlarning kesishmasi (yoki ko‘paytmasi) deb,
ularning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan to‘plamga aytiladi. A va B to‘plamlarning kesishmasi 𝐴⋂𝐵 ko‘rinishda belgilanadi:
𝐴⋂𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 va 𝑥 ∈ 𝐵 }. 2.1-chizmada Eyler —Venn diagrammasi nomi bilan ataladigan chizmada A va B shakllarning kesishmasi 𝐴⋂𝐵 ni beradi
(chizmada shtrixlab ko‘rsatilgan).
2.2-ta’rif. A va B to‘plamlarning birlashmasi (yoki yig'indisi) deb,
ularning kamida bittasida mavjud bo‘lgan barcha elementlardan tuzilgan
to‘plamga aytiladi. A va B to‘plamlarning birlashmasi 𝐴⋃𝐵 ko‘rinishida belgilanadi: 𝐴⋃𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 yoki 𝑥 ∈ 𝐵}
2.3-ta’rif. A va B to‘plamlarning ayirmasi deb, A ning B da mavjud
bo‘lmagan barcha elementlaridan tuzilgan to‘plamga aytiladi. A va B
to‘plamlarning ayirmasi 𝐴 ∖ 𝐵 ko‘rinishda belgilanadi: 𝐴 ∖ 𝐵 = {𝑥: 𝑥 ∈𝐴 va 𝑥 ∉ 𝐵 } (2.3- chizma).
2.4-ta’rif. Agar 𝐵 ⊂ 𝐴 bo‘lsa, 𝐴 ∖ 𝐵 to‘plam B to‘plamning to‘ldiruvchlsi deyiladi va 𝐵′ yoki 𝐵𝐴′bilan belgilanadi

1.Akslantirishlar va ularning turlari. Agar sonli to‘plamlar o‘rnida

ixtiyoriy to‘plamlar qaralsa, u holda funksiya tushunchasining umumlashmasi, ya’ni akslantirish ta’rifiga kelamiz. Faraz qilaylik, E va F to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
10.1-tarif: Agar E to‘plamdan olingan har bir x elementga biror f qoida
yoki qonunga ko‘ra F to‘plamning bitta 𝑦 ∈ F elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa,
E to‘plamni F to‘plamga akslantirish berilgan deyiladi va 𝑓: 𝐸 → 𝐹 yoki x→ 𝑦, (𝑥 ∈ 𝐸, 𝑦 ∈ 𝐹) kabi belgilaniladi. Bunda E to‘plam f akslantirishning
aniqlanish to‘plami deyiladi.
Faraz qilaylik,: 𝐸 → 𝐹 (10.1)
akslantirish berilgan bo‘lsin. 𝑥 ∈ E elementga mos qo‘yilgan 𝑦 ∈ 𝐹 element x ning aksi (obrazi) deyiladi va 𝑦 = 𝑓(𝑥) kabi belgilanadi.
Endi 𝑦 ∈ 𝐹 elementni olaylik. E to‘plamning shunday x elementlarini
qaraymizki, 𝑓(𝑥) = 𝑦 bo‘lsin. Bunday 𝑥 ∈ 𝐸 elementlar 𝑦 ∈ 𝐸 ning asli (proobrazi) deyiladi. Agar A⊂ 𝐸 bo‘lsa, ushbu {(𝑥): 𝑥 ∈ 𝐴} to‘plam A to‘plamning F dagi aksi deyiladi va 𝑓(𝐴) kabi belgilanadi: 𝑓(𝐴) = {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈𝐴}.

Haqiqiy sonlar to‘plami.

Quyidagi ko‘rinishdagi cheksiz o‘nli kasrni qaraymiz:±𝑎0, 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛 … (4.1)Bu kasr «+» va «-» ishora, 𝑎0 - manfiy bo‘lmagan butun son, hamda
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sonlarni qabul qiluvchi 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, … o‘nli belgilar
berilishi bilan aniqlanadi.(4.1) ko‘rinishdagi o‘nli kasrni haqiqiy son deb ataymiz. Agar (4.1) ko‘rinishdagi kasrning oldida + ishorasi tursa u tushirilib qoldiriladi va quyidagicha yoziladi. 𝑎0,𝑎1𝑎2…𝑎𝑛… (4.2)
Bu ko‘rinishdagi o‘nli kasrni manfiy bo‘lmagan haqiqiy son deb ataymiz.
Agar 𝑎0, 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛 … sonlardan aqalli birortasi 0 dan farqli bo‘lsa (4.2)
ko‘rinishdagi o‘nli kasrni musbat haqiqiy son deb ataymiz, −𝑎0, 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛 … ko‘rinishdagi o‘nli kasrni musbat bo‘lmagan haqiqiy son deb ataymiz. Agar 𝑎0, 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛 … sonlarning aqalli birortasi noldan farqli bo‘lsa u holda −𝑎0, 𝑎1𝑎2 … 𝑎𝑛 … haqiqiy sonni manfiy haqiqiy son deb ataymiz .4.1-ta’rif. Agar 𝑎 = 𝑎0,1𝑎2…𝑎𝑛… va 𝑏 = −𝑎0,𝑎1𝑎2…𝑎𝑛… bo‘lsa, a va b sonlar qarama-qarshi sonlar deyiladi.
4.2-ta’rif. Agar (4.1) o‘nli kasr davriy bo‘lsa, u ratsional son deyiladi, agar
(4.1) kasr davriy bo‘lmasa, u irratsional son deyiladi. Barcha irratsional sonlar to‘plamini I harfi bilan belgilaymiz.(4.1) ko‘rinishdagi barcha o‘nli kasrlar to‘plami haqiqiy sonlar to‘plami deyiladi va R harfi balan belgilanadi. Masalan: 0,123456789101112131415…
davriy bo‘lmagan cheksiz o‘nli kasr, demak, bu irratsional son.
Ushbu 𝑏 = 4,10 100 1000 10000 … soni ham irratsional sondir.

3.Ketma-ketlik limitining ta’rifi.

18.1-ta’rif. Agar ixtiyor musbat 𝜀 soni uchun shunday 𝑛0(𝜀) nomer
topilsaki 𝑛0(𝜀) dan katta barcha 𝑛 lar uchun | 𝑥𝑛 − 𝑎| < 𝜀 tengsizlik
bajarilsa, 𝑎 son {𝑥𝑛} ketma-ketlik limiti deyiladi va lim𝑛→∞ (𝑥𝑛)= 𝑎 kabi yoziladi yoki 𝑛 → ∞ da 𝑥𝑛 → 𝑎 deb belgilanadi. Bu ta’rifni logik simvollar yodamida quyidagicha yozish mumkin.∀𝜀 > 0, ∃𝑛0 ∈ 𝑁 (𝑛0 = 𝑛0
(𝜀)), ∀𝑛 > 𝑛0 → |𝑥𝑛 − 𝑎| < 𝜀
tengsizligi bajarilsa 𝑎 soni {𝑥𝑛} ketma-ketlikning limiti deyiladi.Demak,
{lim𝑛→∞(𝑥𝑛)= 𝑎} ⇔∀𝜀 > 0, ∃𝑛0 ∈ 𝑁, ∀𝑛 > 𝑛0 → |𝑥𝑛 − 𝑎| < 𝜀. (18.1)
Agar ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘lsa, bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi deyiladi. Demak, yaqinlashuvchi ketma-ketlik logik simvollar orqali quyidagicha yoziladi:∃𝑎 ∈ 𝑅, ∀𝜀 > 0, ∃𝑛0 ∈ 𝑁, ∀𝑛 > 𝑛0 → |𝑥𝑛 − 𝑎| < 𝜀. (18.2) Bu munosabat bajarilsa {𝑥𝑛} ketma-ketlik yaqinlashuvchi deyilar ekan.

2. Funksiyaning tarifi. Bizga X va Y

toplamlar berilgan bolsin, x ∈ X, y∈Y bolsin.10.7-tarif. Agar haqiqiy sonlar toplami X ning har bir x elementiga biror f qoida yoki qonun boyicha Y toplamning yagona y elementi mos qoyilsa, u holda shu X toplamda x ozgaruvchining funksiyasi berilgan deyiladi va 𝑦 =𝑓(𝑥) deb belgilanadi.Bunda: 𝑥-erkli ozgaruvchi yoki funksiyaning argumenti deyiladi, 𝑦-erksiz
ozgaruvchi yoki funksiya deyiladi.
3. Funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohasi.10.8-tarif. Erkli ozgaruvchi x ning funksiyani manoga ega qiladigan hamma qiymatlari toplami funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va 𝐷(𝑦) yoki 𝐷(𝑓) kabi belgilanadi.10.9-tarif. Erksiz ozgaruvchi y ning qabul qiladigan qiymatlari esa funksiyaning qiymatlari toplami deyiladi va 𝐸(𝑦) yoki 𝐸(𝑓) kabi belgilanadi.

Atrof tushunchasi. Funksiya limitiga ta’rif berishdan oldin, biz

nuqtaning 𝛿 atrofi tushunchasini keltirib o‘tamiz.𝑎 nuqtaning 𝛿 atrofi deb, uzunligi 2𝛿 ga va markazi 𝑎 nuqtada bo‘lgan intervalga aytilar edi va 𝑈𝛿(𝑎) kabi belgilanar edi, ya’ni
𝑈𝛿(𝑎) = {𝑥: 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) = {𝑥: 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿}}.Agar shu intervaldan 𝑎 nuqtani chiqarib tashlasak, hosil bo‘lgan to‘plamga 𝑎 nuqtaning o‘yilgan (teshik) 𝛿 atrofi deyiladi va Ů𝛿(𝑎) shaklida belgilanadi.Ů𝛿(𝑎) = {𝑥: |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, 𝑥 ≠ 𝑎} = {𝑥: 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿}.2. Funksiya limitining Koshi va Geyne ta’riflari.Funksiya limitining Koshi ta’rifi.23.1-ta’rif. 𝑓 funksiya 𝑎 nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo‘lsin. (𝑎
nuqtaning o‘zida aniqlanmagan bo‘lishi ham mumkin). Agar ∀𝜀 > 0 soni uchun ∃𝛿 > 0 soni topilsaki |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, 𝑥 ≠ 𝑎 munosabatni qanoatlantiruvchi 𝑥 lar uchun |(𝑥) − 𝐴| < 𝜀 tengsizlik bajarilsa, u holda 𝐴 soniga 𝑓 funksiyaning 𝑥 =𝑎 nuqtadagi limiti deyiladi va 𝐴 = lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ; ba’zan 𝑥 → 𝑎 da 𝑓(𝑥) → 𝐴 kabi belgilanadi. Bu ta’rif logik simvollar orqali quyidagicha yoziladi:{lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐴} ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿, ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)→ |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀}.
Yoki atrof tushunchasidan foydalanib quyidagicha yozamiz:{lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐴} ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0, ∀𝑥 ∈ Ů𝛿(𝑎) → 𝑓(𝑥) ∈ 𝑈𝜀(𝐴).
Funksiya limitining Geyne ta’rifi.
23.2-ta’rif. Agar 𝑓 funksiya 𝑎 nuqtaning biror o‘yilgan atrofida aniqlangan, ya’ni ∃𝛿0, Ů𝛿0(𝑎) to‘plamda aniqlangan bo‘lib, hadlari x𝑛 ∈ Ů𝛿0(𝑎)
bo‘lgan va 𝑎 ga intiluvchi ixtiyoriy {𝑥𝑛} ketma-ketlik olmaylik, unga mos
funksiyaning qiymatlaridan tuzilgan {𝑓(𝑥𝑛)} ketma-ketlik 𝐴 soniga intilsa, 𝐴
soniga 𝑓 funksiyaning 𝑥 = 𝑎 nuqtadagi limiti deyiladi va lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐴 kabi belgilanadi. Limitning ikki ta’rifining ekvivalentligini ko‘rsatamiz.
23.1-teorema. Funksiya limitining Koshi va Geyne ta’riflari ekvivalentdir.