14-mavzu. Korrelyatsion taxlil elementlari. Reja: Korrelyatsion bog‘lanishning ikki asosiy masalasi 2

14-MAVZU.
KORRELYATSION TAXLIL ELEMENTLARI.


REJA:
1. Korrelyatsion bog‘lanishning ikki asosiy masalasi
2. Regressiya egri chiziqlarini yasash


KALIT SO’LAR:
Korrelyatsiya. Regressiya. Regressiya egri chiziqlari. Funktsional bog’lanish. Shartli o’rta qiymat. Korrelyatsiya koeffitsienti. Chiziqli regressiya.

1. 
   Korrelyatsion bog‘lanishning ikki asosiy masalasi
   

1. Korrelyatsion bog‘lanish formasini aniqlash, ya‘ni regressiya funktsiyasining ko‘rinishini (chiziqli, kvadratik, ko‘rsatkichli va h.k.) topish. O‘rganilayotgan ikki miqdor orasida bog‘lanish bormi, agar bor bo‘lsa qanday?

2. Korrelyatsion bog‘lanishning zichligini aniqlash. Y ning X ga korrelyatsion bog‘liqligining zichligi Y qiymatlarining Y_x shartli o‘rtacha qiymat atrofida tarqoqligining kattaligi bo‘yicha baholanadi. Ko‘p tarqoqlik Y ning X ga kuchsiz bog‘liqligidan yoki bog‘liqlik yo‘qligidan darak beradi. Kam tarqoqlik ancha kuchli bog‘liqlik borligini ko‘rsatadi. Korrelyatsion bog‘liqlik ta‘rifini aniqlashtiramiz, buning uchun shartli o‘rtacha qiymat tushunchasini kiritamiz.

2. 
   Regressiya egri chiziqlarini yasash
   

Ikkita tasodifiy miqdor funktsional bog‘lanish bilan, yoki statistik deb ataladigan boshqa tur bog‘lanish bilan bog‘langan bo‘lishi, yoki o‘zaro bog‘lanmagan bo‘lishi mumkin.

Masalan Y=φ (x) funktsional bog‘lanishda, tasodifiy miqdorlardan biri (x) ning o‘zgarishi bilan ikkinchi tasodifiy miqdor (Y) ning o‘zgarishi kuzatiladi. Statistik bog‘lanishda tasodifiy miqdorlardan birining o‘zgarishi ikkinchisining taqsimoti o‘zgarishiga olib keladi. Xususan, statistik bog‘liqlik miqdorlardan birining o‘zgarishi ikkinchisining o‘rta qiymatining o‘zgarishida ko‘rinadi; bu holda statistik bog‘lanish korrelyatsion bog‘lanish deb ataladi. Korrelyatsion bog‘lanish tasodifiy miqdorlar orasidagi bog‘lanishni o‘rganadi. Statistik bog‘lanish yana regression bog‘lanishni, ya‘ni tasodifiy va tasodifiy bo‘lmagan miqdorlar orasidagi bog‘lanishni ham o‘rganadi.

Shartli o‘rtacha qiymat Y_x deb Y ning X=x qiymatga mos qiymatlarining arifmetik o‘rtacha qiymatlariga aytiladi. Agar har bir x qiymatiga shartli o‘rtacha qiymatning bitta qiymati mos kelsa, u holda ravshanki shartli o‘rtacha qiymat x ning funktsiyasidir; bu holda Y tasodifiy miqdor X miqdorga korrelyatsion bog‘liq deyiladi.

Y ning X ga korrelyatsion bog‘liqligi deb, Y_x shartli o‘rtacha qiymatning x ga funktsional bog‘liqligiga aytiladi:
Y_x= f(x)
Yuqoridagi tenglama Y ning X ga regressiya tenglamasi deyiladi; f(x) funktsiya Y ning X ga regressiyasi, uning grafigi esa Y ning X ga regressiya chizig‘i deyiladi. X_y shartli o‘rtacha qiymat va X ning Y ga bog‘liqligi shunga o‘xshash aniqlanadi: X_y=φ (u) X ning Y ga regressiya tenglamasi.
Agar f(x) va φ(u) funktsiyalarning ikkalasi ham chiziqli bo‘lsa, u holda korrelyatsiya chiziqli deyiladi. O‘rganilayotgan miqdorlar orasidagi bog‘liqlik ko‘rinishini topishni tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti osonlashtiradi:

bu ifoda chiziqli korrelyatsiya koeffitsiyentining bahosidir:

Agar X va Y bog‘lanmagan bo‘lsa, u holda r=0.

Teskari tasdiq esa to‘g‘ri emas va har doim ham bajarilmaydi.
Agar X va Y – chiziqli bog‘liq bo‘lsa, ya‘ni Y=a*X+b bo‘lsa, u holda

Demak, tanlanma korrelyatsiya koeffitsiyenti birga yaqin bo‘lsa, u holda chiziqli regressiya funktsiyasini izlash kerak. Agar nolga yaqin bo‘lsa, u holda X va Y orasida chiziqli bog‘lanish yo‘q, lekin boshqa ko‘rinishdagi bog‘lanish mavjud bo‘lishi mumkin, ya‘ni bu holda chiziqli bo‘lmagan regressiya funktsiyasini izlash kerak.

Faraz qilaylik, X va Y chiziqli korrelyatsion bog‘lanish bilan bog‘langan bo‘lsin. Bu to‘g‘ri chiziqlar tenglamasini topish uchun n ta tajriba o‘tqazilgan bo‘lsin, u holda n ta sonlar juftligi: (x₁,u₁), …, (x_n,u_n) vujudga keladi. Bu sonlar juftligiga (x,u) tasodifiy miqdorning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlari bosh to‘plamidan olingan tasodifiy tanlanma sifatida qarashimiz mumkin. Aniqlik uchun, Y ning X ga regressiya to‘g‘ri chizig‘ining tanlanma tenglamasini izlaymiz, ya‘ni izlanayotgan tenglamani quyidagicha yozishimiz mumkin:

Y = k*X + b

Y ning X ga regressiya to‘g‘ri chizig‘ining burchak koeffitsiyentini Y ning X ga tanlanma regressiya koeffitsiyenti deyish va uni ρ_yx orqali belgilash qabul qilingan. Shunday qilib, Y ning X ga regressiya to‘g‘ri chizig‘ining

Y = ρ_yx x + b
ko‘rinishdagi tenglamasini izlaymiz.
Oz oldimizga ρ_yx va b parametrlarni shunday tanlashni vazifa qilib qo‘yaylikki, kuzatish ma’lumotlari bo‘yicha XOY tekislikda yasalgan (x₁,u₁), (x₂,u₂), …, (x_n,u_n) nuqtalar iloji boricha (4.4) to‘g‘ri chiziq yaqinida yotsin. (4.4) chiziqli empirik formulani topish uchun bir necha xil usullar mavjud: «Tortilgan ip», «yig‘indilar», «eng kichik kvadratlar» usullari.