15-ma’ruza. I va II –tur xosmas integrallar. Xosmas integrallarning yaqinlashishi. R e j a

Misol. Ushbu

integralni yaqinlashuvchiligini tekshiring.

Echish. (16.2) formulada  deb faraz qilib, quyidagini hosil qilamiz:

Tenglikning o’ng qismidagi xosmas integrallar yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki

SHuning uchun ushbuga ega bo’lamiz:

Integarl yaqinlashuvchi va uning qiymati  ga teng.

CHeksiz funktsiyalarning xosmas integrallari.

Ta’rif.  intervalda uzluksiz va da aniqlanmagan yoki uzilishga ega bo’lgan funktsiyaning (1-shakl) xosmas integrali quyidagicha belgilanadi:

va ushbu tenglik bilan aniqlanadi:



y











x

0

a
00

1-shakl.
(16.3)

Agar (16.3) formulada o’ngda turgan limit mavjud bo’lsa, u holda xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar ko’rsatilgan limit mavjud bo’lmasa, u holda xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar integral ostidagi  funktsiya uchun  boshlang’ich funktsiya ma’lum bo’lsa, u holda Nyuton-Leybnits formulasini qo’llash mumkin:



SHunday qilib, agar  da boshlang’ich funktsiyaning limiti mavjud bo’lsa (biz uni  bilan belgiladik), u holda xosmas integral yaqinlashuvchi, agarda bu limit mavjud bo’lmasa, u holda xosmas integral uzoqlashuvchi bo’ladi.
intervalda uzluksiz va  da aniqlanmagan yoki II tur uzilishga ega bo’lgan funktsiyaning xosmas integrali ham shunga o’xshash aniqlanadi:

bu erda - boshlang’ich funktsiyaning  dagi limiti.

Agarda funktsiya  kesmaning biror-bir  oraliq nuqtasida cheksiz uzilishga ega yoki aniqlanmagan bo’lsa, u holda xosmas integral quyidagi integral bilan aniqlanadi:


(16.4)
Agar (16.4) formulaning o’ng tomonida turgan intervalardan aqalli bittasi uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda xosmas integral uzoqlashuvchi bo’ladi.
Agar (16.4) ning o’ng tomonidagi ikkala integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda tenglikning chap tomonidagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo’ladi.
Misol. Ushbu

integral ning yaqinlashuvchanligini tekshiring.

Yechish.  da  nuqta  kesmaning chap oxirida yotadi. SHuning uchun quyidagiga ega bo’lamiz:

Integral yaqinlashuvchi.