15-ma’ruza. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari

2-lemma. kompleks Hilbert fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lgan chegaralangan operatorning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.
Isbot. Haqiqatan ham, bo‘lsin. U holda

bu yerdan
3-lemma. O‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o‘zaro ortogonaldir.
Isbot. Haqiqatan ham, agar hamda bo‘lsa, u holda

bu yerdan ya’ni
Endi quyidagi fundamental teoremani isbotlaymiz.
6-teorema. (Hilbert-Shmidt). Hilbert fazosida kompakt, o‘z-o‘ziga qo‘shma, chiziqli operator berilgan bo‘lib, - uning barcha nolmas xos qiymatlari ketma-ketligi bo‘lsin. U holda fazoda shu xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlardan iborat shunday ortonormal sistema mavjudki, har bir element yagona usulda

ko‘rinishda tasvirlanadi, bu yerda vektor shartni qanoatlantiradi. Bu holda

Agar nolmas xos qiymatlar soni cheksiz bo‘lsa, u holda

Bu asosiy teoremani isbotlash uchun bizga quyidagi yordamchi tasdiqlar kerak bo‘ladi.
4-lemma. kompakt operator va ketma-ketlik elementga kuchsiz yaqinlashsin, u holda

Isbot. Ixtiyoriy natural son uchun


Ikkinchi tomondan,

va

Ma’lumki, sonlar ketma-ketligi chegaralangan va da

bo‘lgani uchun, da

5-lemma. o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operator va bo‘lsin. Agar funksional birlik sharning nuqtasida maksimumga erishsa, u holda ekanligidan

tengliklar kelib chiqadi.
Isbot. Ravshanki, ixtiyoriy uchun Agar funksional birlik sharning nuqtasida maksimumga erishsa, u holda Haqiqatan ham, agar bo‘lsa, u holda

Bu munosabat ning maksimal qiymat ekanligiga zid. Endi vektor ga ortogonal bo‘lgan ixtiyoriy element bo‘lsin. Bu elementlar yordamida elementni quyidagicha quramiz

Bu yerda ixtiyoriy compleks son. ekanligidan kelib chiqadi.

bo‘lgani uchun, yetarlicha kichik larda

Oxirgi tenglikdan ko‘rinib turibdiki, agar bo‘lsa, u holda ni shunday tanlash mumkinki, tengsizlik bajariladi. Bu esa maksimal qiymat ekanligiga zid.
6-lemma. Agar o‘z-o‘ziga qo‘shma chegaralangan operator bo‘lib, funksional birlik sharning nuqtasida maksimumga erishsa, u holda biror son uchun tenglik o‘rinli.
Isbot. 5-lemmaga ko‘ra vektorga ortogonal bo‘lgan qism fazo operatorga nisbatan invariant bo‘ladi. o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lganligi uchun qism fazoga ortogonal bo‘lgan, bir o‘lchamli qism fazo ham ga invariant bo‘ladi. Bir o‘lchamli fazoda har qanday chiziqli operator songa ko‘paytirish operatoridir. Demak, tenglik o‘rinli.