15-ma’ruza. Kompakt operatorlarning asosiy xossalari

2-teorema. Agar va bo‘lsa, u holda va operatorlar ham kompakt operatorlar bo‘ladi.
Isbot. Agar to‘plam chegaralangan bo‘lsa, u holda ham chegaralangan to‘plam bo‘ladi. kompakt operator bo‘lgani uchun to‘plam – nisbiy kompakt to‘plamdir. Bu esa operatorning kompakt ekanligini isbotlaydi.
Endi operatorning kompaktligini ko‘rsatamiz. Buning uchun chegaralangan ketma-ketlik qanday bo‘lmasin, ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkinligini ko‘rsatish yetarli. kompakt operator bo‘lgani uchun ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. operator uzluksiz bo‘lgani uchun ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak, kompakt operator ekan.
2-natija. cheksiz o‘lchamli Banax fazosi bo‘lsin. U holda operatorning chegaralangan teskarisi mavjud emas.
Isbot. Teskaridan faraz qilaylik, ya’ni mavjud va chegaralangan bo‘lsin. U holda birlik operator cheksiz o‘lchamli Banax fazosida kompakt bo‘lar edi, bu qarama-qarshilik natijani isbotlaydi.
3-teorema. Kompakt operatorga qo‘shma operator kompaktdir.
Isbot. Bizga Banax fazosini o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi kompakt operator berilgan bo‘lsin. Ko‘rsatamizki, ga qo‘shma bo‘lgan operator dagi har qanday chegaralangan to‘plamni nisbiy kompakt to‘plamga o‘tkazadi. Normalangan fazodagi har qanday chegaralangan to‘plam qandaydir sharda saqlanadi, shuning uchun operator dagi birlik shar ni nisbiy kompakt to‘plamga o‘tkazishini ko‘rsatish yetarli.
dagi uzluksiz funksionallarni fazoda emas, faqat kompakt to‘plamda aniqlangan funksional sifatida qaraymiz. Bu yerda to‘plam dagi birlik shar. Bu holda dagi funksionallarga mos keluvchi funksiyalar to‘plami tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz bo‘ladi. Haqiqatan ham, agar bo‘lsa, u holda


Arsela teoremasiga ko‘ra to‘plam fazoda nisbiy kompakt to‘plam bo‘ladi. Uzluksiz funksiyalar fazosi dagi to‘plam fazodagi to‘plamga izometrik bo‘ladi. Haqiqatan ham, agar bo‘lsa, u holda


nisbiy kompakt to‘plam bo‘lganligi uchun u to‘la chegaralangan bo‘ladi. O‘z navbatida, unga izometrik bo‘lgan to‘plam ham to‘la chegaralangan bo‘ladi. Demak, nisbiy kompakt to‘plam.