15 –mavzu. Haqiqiy Yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar

15 –mavzu. Haqiqiy Yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar

Biz ushbu mavzuda haqiqiy fazodagi chiziqli almashtirishlarni batafsil o‘rganamiz. Biror haqiqiy chiziqli fazo va chiziqli almashtirish berilgan bo‘lsin.

15.1-teorema. Haqiqiy chiziqli fazodagi xar qanday chiziqli almashtirish uchun bir yoki ikki o‘lchamli invariant qism fazo mavjud.
Isbot. Aytaylik, chiziqli fazoda bazis berilgan bo‘lib, chiziqli almashtirishning ushbu bazisdagi matritsasi bo‘lsin.
Quyidagi tenglamalar sistemasini qaraymiz:
(15.1)
Bu sistemaning noldan farqli yechimini izlaymiz. Ma’lumki, sistemaning noldan farqli yechimi

determinant faqat nolga teng bo‘lgan holdagina mavjud.
Bu determinantni nolga tenglab, ga nisbatan -darajali, haqiqiy koeffitsientli tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama haqiqiy ildizga ega bo‘lishi yoki ega bo‘lmasligi mumkin. Agar tenglama haqiqiy ildizga ega bo‘lmasa, ixtiyoriy ko‘phad kamida bitta kompleks ildizga ega bo‘lganligi uchun bu tenglama ham kompleks ildizga ega bo‘ladi. Demak, biz quyidagi ikkita holni ko‘rib chiqamiz.
a) ko‘phad haqiqiy ildizga ega bo‘lib, uning haqiqiy ildizi bo‘lsin. Bu holda (15.1) sistemaning noldan farqli yechimi mavjud bo‘ladi.
Koordinatalari sonlardan iborat bo‘lgan vektorni tanlasak, bu vektor uchun

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak, fazo bir o‘lchamli invariant qism fazo bo‘ladi.
b) ko‘phad haqiqiy ildizga ega bo‘lmasin, u holda bu ko‘phad kompleks ildizga ega. U holda (15.1) chiziqli tenglamalar sistemasi ham noldan farqli kompleks ildizga ega bo‘ladi. Aytaylik,

kompleks sonlar (15.1) sistemaning noldan farqli yechimi bo‘lsin. Bu sonlarni sistemaga qo‘yib, sistemadagi xar bir tenglamaning haqiqiy va mavhum qismlarini ajratsak, mos ravishda quyidagi sistemalarga ega bo‘lamiz:
(15.2)
va
(15.3)
Endi koordinatalari mos ravishda va lardan iborat bo‘lgan va vektorlarni qaraymiz. U holda (15.2) va (15.3) munosabatlarni quyidagicha yozish mumkin:
(15.4)
Bu tenglikdan va vektorlardan tashkil topgan ikki o‘lchamli qism fazo ga nisbatan invariant ekanligini ko‘rish mumkin. 
Yuqoridagi teoremadan o‘lchami toq songa teng bo‘lgan haqiqiy fazoda ixtiyoriy chiziqli almashtirish bir o‘lchamli invariant qism fazoga ega ekanligi kelib chiqadi.
Endi haqiqiy Yevklid fazosida o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish tushunchasini kiritamiz.
15.2-ta’ rif. Agar ixtiyoriy va vektorlar uchun

shart bajarilsa, haqiqiy chiziqli almashtirish o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish deyiladi.
Haqiqiy Yevklid fazosida ortonormal bazis berilgan bo‘lib, bu bazisda o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirishning matritsasi bo‘lsin.
Yevklid fazosidan

vektorlarni olib, quyidagi skalyar ko‘paytmani qaryamiz,

Xuddi shunga o‘xshab,

tenglikni hosil qilamiz. shartdan esa

ekanligi kelib chiqadi.
Demak, chiziqli almashtirish o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishi uchun uning ortonormal bazisdagi matritsasi simmetrik bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Bizga simmetrik bichiziqli forma berilgan bo‘lib, biror bazisda quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lsin

Bichiziqli formaning simmetrikligidan ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa, ixtiyoriy simmetrik bichiziqli forma uchun

munosabatni qanoatlantiradigan o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish mavjud degan xulosaga kelishimiz mumkin.