15 –mavzu. Haqiqiy Yevklid fazosida chiziqli almashtirishlar

15.3-lemma. Ixtiyoriy o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish uchun bir o‘lchamli invariant qism fazo mavjud.
Isbot. Lemmani isbotlash uchun xarakteristik ko‘phadning haqiqiy ildizi mavjud ekanligini ko‘rsatish kifoya. Chunki, 15.l-teoremaga muvofiq, haqiqiy xos songa bir o‘lchamli invariant qism fazo mos keladi.
Faraz qilaylik, xarakteristik ko‘phad faqat kompleks ildizlarga ega bo‘lib, uning kompleks ildizlaridan biri bo‘lsin.
15.1-teoremani isbot qilishda uchun ikkita va vektorlar hosil qilinib, bu vektorlar uchun


tengliklar o‘rinli bo‘lishi ko‘rsatilgan edi.
Quyidagi tengliklarni qaraylik.


ekanligini hisobga olib, bu tengliklarning ikkinchisidan birinchisini ayirsak,

hosil bo‘ladi. bo‘lganligi uchun ekanligi kelib chiqadi, bu esa ildiz haqiqiy son ekanligini bildiradi. 
15.4-lemma. o‘z-o‘ziga qo‘shma almashtirish, esa uning xos vektori bo‘lsin. U holda , ya’ni ga ortogonal bo‘lgan vektorlar to‘plami o‘lchamli invariant qism fazo tashkil qiladi.
Isbot. Berilgan xos vektorga ortogonal bo‘lgan vektorlar to‘plami o‘lchamli qism fazo tashkil etishi ravshan. Biz qism fazo almashtirishga nisbatan invariant ekanligini ko‘rsatamiz.
Aytaylik, ya’ni bo‘lsin, u holda

ya’ni 
15.5-teorema. Ixtiyoriy o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish uchun shunday ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda almash-tirishning matritsasi diagonal shaklda bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, o‘z-o‘ziga qo‘shma chiziqli almashtirish bo‘lsin. 15.3-lemmaga asosan, almashtirish kamida bitta xos vektorga ega. xos vektorga ortogonal bo‘lgan vektorlardan iborat qism fazo almashtirishga nisbatan invariant bo‘lgaligi uchun, bu qism fazoda yotuvchi xos vektor mavjud. Bu jarayonni marotaba davom ettirish natijasida, juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarni hosil qilamiz. Ularni fazodagi bazis sifatida olsak, u holda

bo‘lgaligi uchun, bu bazisda almashtirish matritsasi

ko‘rinishda bo‘ladi. 