15-Mavzu: Yuqori tartibli hosila va differensiallar. Differensial hisobning asosiy teoremalari: Ferma, Roll, Lagranj va Koshi teoremalari. Lopital qoidasi. Reja

11-Teorema (Koshi teoremasi). va funktsiyalar [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Agar bu funktsiyalar (a,b) intervalda chekli hosilalarga ega bo’lib, uchun bo’lsa, u holda shunday c nuqta (c
topiladiki
=
bo’ladi.
Isbot. (16) tenglik ma’nogo ega bo’lishi uchun g bo’lishi kerak. Bu
esa teoremadagi g’(x) shartdan kelib chiqadi.
Endi f(x) va g(x) funktsiyalar yordamida
F(x)=
funktsiyani tuzaylik. Bu funktsiya [a, b] segmentda aniqlangan uzluksiz bo’lib, (a,b) da

hosilaga ega.
So’ngra F(x) funktsiyaning x=a, x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:
F(a)=F(b)=0
Demak, F(x) funktsiya [a,b] segmentda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun shunday c nuqta (a topiladiki,
bo’ladi. Shunday qilib,
0=
Bundan esa (16) tenglikning o’rinli ekani kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
Teylor formulasi.
f(x) funktsiya nuqtaning biror atrofi da aniqlangan bo’lib, bu atrofda hosilalarga ega va
hosila nuqtada uzluksiz bo’lsin . U holda ushbu

+ (17)
Formula o’rinli bo’ladi, bunda Bu formulani isbotlash uchun, avvalo quyidagi belgilashlar kiritamiz:


Agar
=
Ekanligini ko’rsatsak (17) formula isbot bo’ladi. oraliqda ixtiyoriy x nuqtani tayinlaymiz. Faraz qilaylik bo’lsin.
[ , oraliqda yordamchi
F(t)=
funktsiyani qaraylik.
F(t) funktsiya [ oraliqda Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi:
funktsiya [ oraliqda uzluksiz va differensiallanuvchi bo’lib,




(18)
da
F
t=x da
F

bo’ladi.
U holda Roll teoremasiga ko’ra shunday nuqta mavjudki,

bo’ladi.
(18) tenglikdan foydalansak,

bo’lib, bunda esa

ekanligi kelib chiqadi.
Odatda formula Teylor formulasi, esa qoldiq had (Logranj ko’rinishi) deyiladi.
Endi ning nuqtada uzluksizligidan foydalanamiz:

Bu esa da ekanligini bildiradi.
( qoldiq hading Peano ko’rinishi deyiladi.
Teylor formulasida bo’lgan hol alohida ahamiyatga ega:
(19)
Odatda (19) Makloren formulasi deyiladi. Bu formuladan funktsiya limitini toppish, taqribiy hisoblashlar masalalarida foydalaniladi.